Dyadinen analyysi ja painot, kevät 2014

Last modified by tapiola@helsinki_fi on 2024/03/27 10:20

Dyadinen analyysi ja painot, kevät 2014

(Dyadic analysis and weights. Lectures will be in English in case of international attendance.)

Luennoitsija 

Tuomas Hytönen

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Mitta ja integraali, osia Reaalianalyysi I:stä (rohkeimmille riittää lukea tätä yhtä aikaa)

Luento- ja harjoitusajat

Viikot 11-18, ma 9-11 salissa C129 ja ke 9-11 salissa CK111. Ensimmäinen luento on ma 10.3.

Timo Hänninen pitää harjoituksia ke 14-16 salissa CK107. Ensimmäinen harjoitus on ke 19.3.

Pääsiäisloma 17.-23.4.

Suorittaminen

Harjoitustehtävät (ratkaistava kohtuullinen* määrä) ja kurssin loppupuolella kurssin aihepiiriin liittyvä projektityö (ks. ohjeet sivun alalaidasta).

*Mikä on kohtuullinen määrä, selviää kurssin edetessä - sen mukaan, kuinka vaikeiksi tehtävät osoittautuvat. Suuntaa antavana vaatimuksena voidaan pitää vähintään noin puolta kunkin harjoituskerran tehtävistä, mutta vaatimusta voidaan tarvittaessa tarkastella uudestaan.

Omat ratkaisut on ensisijaisesti tarkoitus olla valmis esittämään taululla harjoitusaikana. Harjoitusten pitäjän kanssa voidaan neuvotella mahdollisuudesta kirjalliseen palautukseen.

Kuvaus

Nimensä mukaisesti kurssilla on kaksi pääteemaa:

  1. Dyadiset tekniikat reaalianalyysissä. Avaruuden Rn dyadiset kuutiot muodostuvat jakamalla annettua lähtökuutiota yhä uudelleen kahtia jokaisessa koordinaattisuunnassa. Näin muodostuvalla kuutioperheellä on poikkeuksellisen kätevä rakenne, joka lähes trivialisoi monet reaalianalyysin keskeiset peitelausepäättelyt. Dyadisten kuutioiden järjestelmällinen hyödyntäminen tarjoaa vaihtoehtoisen lähestymistavan moniin reaalianalyysin kysymyksiin. Siksi voikin olla mielenkiintoista opiskella näitä kursseja yhtä aikaa toisiaan täydentävinä näkökulmina.
  2. Painoteoria. Dyadisten tekniikoiden sovelluksena perehdytään erityisesti  analyysin perusoperaattoreiden, kuten Hardyn ja Littlewoodin maksimaalioperaattorin, toimintaan painollisilla Lp-avaruuksilla, mikä tarkoittaa integrointia Lebesguen mitan dx sijasta painollisen mitan wcanceldx suhteen. Klassinen Muckenhouptin teoria 70-luvulta antaa kvalitatiivisen luonnehdinnan "hyvistä" painofunktioista w, joiden suhteen esimerkiksi maksimaalifunktiolla on suotuisat kuvausominaisuudet. Viimeaikaisen tutkimuksen kohteena on ollut toisaalta vastaava kvantitatiivinen teoria, toisaalta ns. kahden painon kysymykset. Kurssilla on tarkoitus päästä tutustamaan joihinkin varsin tuoreisiinkin tuloksiin, jotka edustavat harmonisen analyysin nykytutkimuksen etulinjaa.

Kurssille tullee noin 50% päällekkäisyyttä talvella 2011 luennoimani kurssin Painotetut epäyhtälöt kanssa. Mainittuun kurssiin verrattuna on tarkoitus toisaalta korostaa dyadisia menetelmiä yleisemmin analyysissä (ei ainoastaan painoteorian näkökulmasta) ja toisaalta tarkastella joitakin painoteorian sovelluksia muihin analyysin kysymyksiin. Lisäksi on tarkoitus käsitellä joitakin painoteorian uusia tutkimustuloksia, jotka ovat ilmestyneet vasta edellisen luennointikerran jälkeen.

Kirjallisuus

Luentomonistetta (Lecture notes, in English) kirjoitetaan ja päivitetään kurssin edetessä. Tällä hetkellä mukana on koko kurssin materiaali; korkeintaan pilkunviilausta enää luvassa.

Esimakuna voi vilkaista Painotetut epäyhtälöt -kurssin monistetta, josta tullaan käyttämään noin 50%.

Harjoitustehtävät

  1. luentoviikko: kaikki tehtävät (5 kpl) luvusta 2.
  2. luentoviikko: kaikki tehtävät (yht. 5 kpl) luvuista 3-4.
  3. luentoviikko: kaikki tehtävät (yht. 5 kpl) luvuista 5-6.
  4. luentoviikko: luvun 6 lopusta 3 uutta tehtävää, lukujen 7-8 kaikki (2+1) tehtävät (yht. 6 kpl).
  5. luentoviikko: luvun 8 lopusta 1 uusi tehtävä ja luvun 9 kaikki 3 tehtävää (yht. 4 kpl).
  6. luentoviikko: kaikki tehtävät (3+2 kpl) luvuista 10-11.

Projektityö

Yleisohjeet

  • Työn pituus: 3–8 sivua.
  • Työn saa kirjoittaa suomeksi tai englanniksi.
  • Työn tulee sisältää:
    • Jokin päätulos selkeästi muotoiltuna, myös kaikki sen ymmärtämiseksi tarvittavat määritelmät.
    • Taustatietoja ja asialliset lähdeviitteet: Kuka tuloksen todisti? Mihin muihin tuloksiin se liittyy, esim. onko se yleistys jostain aiemmasta tuloksesta?
    • Päätuloksen todistusrunko, niin että kaikki tärkeimmät vaiheet on vähintään esitelty. Ei tarvitse olla täydellinen todistus, vaan esim. tarvittavat apulauseet riittää muotoilla ja antaa viitteet niiden todistuksiin.
    • Jokin päätulokseen liittyvä matemaattinen päättely kokonaisuudessaan läpikäytynä. Joko päätuloksen todistus kokonaisuudessaan, jos se on kohtuullisen mittainen, tai muuten jokin todistuksen keskeinen välivaihe. Tämän tulee olle huolellisesti auki kirjoitettuna, niin että se on itsenäisesti luettavissa ja ymmärrettävissä. Esitystarkkuuden tulisi olla vähintään sama kuin lähdemateriaalissa ja mieluiten parempi.
  • Työn pitää tavalla tai toisella osoittaa omaa matemaattista ajattelua, ei pelkästään lähdemateriaalin toistoa. Hyvä tapa on esim. lukea todistus lähteestä ja yrittää ymmärtää sen taustalla oleva idea, laittaa sitten lähde pois, ja yrittää tuottaa oma versio todistuksesta. Yritä erityisesti avata lähteen mahdolliset epäselvät kohdat. 
  • Työn tulee olla sellaisenaan luettavissa, ts. sen ymmärtämiseksi ei saa joutua katsomaan käytettyä lähdemateriaalia. Erityisesti siis työssä tulee määritellä käytetyt käsitteet ja esittää käytetyt tulokset – ei välttämättä kaikkia todistuksia. Esimerkiksi:
    • OK: …sitten käytetään seuraavaa tulosta:
      Lemma [lähdeviite, lemma 7.8]: Jos X, Y ja Z, niin W.
      Tästä väite seuraakin.
    • EI OK: …sitten käytetään tulosta [lähdeviite, lemma 7.8], josta väite seuraakin. (Tässä esimerkissä lukija ei voi tietää, mitä tulosta käytetään, katsomatta itse lähdeviitettä.)

Mahdollisia aiheita

Muukin kuin tässä listatut käy, kunhan se liittyy kurssin aihepiiriin ja mieluiten melko tuoreeseen tutkimukseen. Tarkista tarvittaessa luennoijalta. Tarkoitus on, että kurssilaiset tekevät projektinsa ensisijaisesti eri aiheista. Jos haluat varata jonkin aiheen, kirjoita sähköpostia luennoijalle ja harjoitusten pitäjälle, niin jompi kumpi merkitsee varauksen tällä sivulle.

 

Ilmoittautuminen

Tule ensimmäiselle luennolle.