Last modified by astala@helsinki_fi on 2024/03/27 10:13
Show last authors
1 = Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2012 =
2
3 === Ajankohtaista. ===
4
5 Toisen kurssikokeen tulokset alla.
6
7 (% style="color: rgb(51,51,51);" %)**Luennoitsija**
8
9 [[Kari Astala>>doc:mathstatHenkilokunta.Astala, Kari]]
10
11 === Laajuus ===
12
13 10 op.
14
15 === Tyyppi ===
16
17 Syventävä opinto
18
19 === Esitietovaatimukset ===
20
21 Yhden ja useamman muuttujan analyysin perustiedot (kursseista Analyysi I & II, sekä Vektorianalyysi), lineaarialgebran peruskäsitteet (vektoriavaruus ja lineaarikuvaus) sekä metrisen avaruuden perusteet (kurssista Topologia I). Joissakin sovelluksissa ja esimerkkeissä tarvitsemme Lebesguen integraalin perusominaisuuksia, mutta **kurssin voi seurata samanaikaisesti Mitta ja integraalin kanssa** (silloin omaehtoinen kertaaminen tai asioihin tutustuminen saattaa joskus olla tarpeen).
22
23 === Luentoajat ===
24
25 Viikot 3-9 ja 11-18 ma 12-14, ke 12-14 D123. Ensimmäinen luento 16.1.2012
26
27 Lisäksi kurssiin sisältyy 2 viikkotuntia laskuharjoituksia, jotka pidetään keskiviikkoisin 14-16.
28
29 Pääsiäisloma 5.-11.4.
30
31 === Kokeet ===
32
33 Kaksi kurssikoetta, 3. ja 4. periodin lopussa. Ensimmäinen kurssikoe 1.3. 13-15, sali A111. Toinen kurssikoe 9.5. 13-15, sali A111.
34
35 Ensimmäisen kurssikokeen (1.3.2012) tulokset löytyvät [[tästä>>attach:1.Kurssikoe.tulokset.pdf]] ja tehtävät vastauksineen [[tästä>>attach:1.kurssikoe.2012.pdf]].
36
37 Ensimmäisen kurssikokeen tulosten keskiarvo: 15,97 / 24
38
39 Toisen kurssikokeen (9.5.2012) tulokset löytyvät [[tästä>>attach:2.kurssikoe.tulokset.pdf]] ja tehtävät vastauksineen löytyvät [[tästä>>attach:2.kurssikoe.2012.pdf]]
40
41 Toisen kurssikokeen tulosten keskiarvo: 14,22 / 24
42
43 === Sisältö ===
44
45 Funktionaalianalyysin peruskurssi on tärkeimpiä matemaattisen analyysin syventäviä kursseja sekä yleisen että soveltavan matematiikan opiskelijoille. Tutustumme ainakin seuraaviin keskeisiin aiheisiin:
46
47 * Banach avaruus (= täydellinen normiavaruus): määritelmä ja perusesimerkit
48
49 * täydellisyys ja sen sovellukset (mm. kiintopistelause).
50
51 * Hilbert avaruus: perusominaisuudet, ortogonaaliset projektiot, ortonormaalit kannat; optimointi Hilbert avarauuksissa
52
53 * Fourier sarjojen
54
55 {{mathinline}}
56 L^2-
57 {{/mathinline}} teoria
58
59 * jatkuvat lineaariset operaattorit ja niitä koskevat peruslauseet: Neumannin sarja, tasaisen rajoituksen periaate (Banach-Steinhaus), avoimen kuvauksen lause, suljetun kuvaajan lause
60
61 * distribuutioderivaatta ja Sobolev avaruus
62
63 * Hahn-Banachin laajennuslause ja dualiteetti, refleksiivisyys
64
65 * operaattorin adjungaatti
66
67 Sovelluksina mm. Fourier sarjojen perusteoria ja integraaliyhtälöiden ratkaiseminen.
68
69 === Kirjallisuus ===
70
71 Kurssi seuraa monistetta Astala-Piiroinen-Tylli: **Funktionaalianalyysin peruskurssi**, jota modifioidaan tarvittavin kohdin.
72
73 Linkki luentomonisteeseen: [[Luentomuistiinpanot 2012>>attach:FApk.pdf]].
74
75 **HUOM:** Luentomonisteen sivuilla 101-114 ja sivuilla 179-183 on lisätietoja joita ei käydä läpi luennoilla, eikä niistä tule harjoituksia tai koetehtäviä. Viimeinen 2. kurssikokeeseen tullut asia oli Lause 10.15 (s. 195).
76
77 Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat oppikirjat:
78
79 * D. Werner, Funktionalanalysis. Springer. (erinomainen yleiskirja, saksankielinen)
80
81 * B. Bollobás, Linear Analysis Cambridge Univ. Press, 1999. (ytimekäs yleiskirja)
82
83 * W. Rudin, Real and Complex Analysis (3. painos), McGraw-Hill, 1987.
84 (luvut 3-5, ei kata koko kurssia)
85
86 * A. Friedman, Foundations of Modern Analysis, Dover, 1982. (tiivis yleiskirja,
87 myös mittateoriaa ja reaalianalyysia)
88
89 * W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1991. (erilainen, laaja yleiskirja)
90
91 * J. Conway, A Course in Functional Analysis, Springer, 1990. (yleiskirja)
92
93 === [[Ilmoittaudu>>url:https://oodi-www.it.helsinki.fi/hy/opintjakstied.jsp?html=1&Tunniste=57241||shape="rect"]] ===
94
95 Unohditko ilmoittautua? [[Mitä tehdä>>doc:mathstatOpiskelu.Kysymys4]].
96
97 === Laskuharjoitukset ===
98
99 |=(((
100 Ryhmä
101 )))|=(((
102 Päivä
103 )))|=(((
104 Aika
105 )))|=(((
106 Paikka
107 )))|=(((
108 Pitäjä
109 )))
110 |(((
111 1.
112 )))|(((
113 ke
114 )))|(((
115 14-16
116 )))|(((
117 C124
118 )))|(((
119 Antti Perälä
120 )))
121
122 Harjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:
123
124 25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.
125
126 === Laskuharjoitustehtävät ===
127
128 Keskiviikkoisten harjoitusten tehtävät laitetaan tälle kotisivulle edellisen viikon torstaina.
129
130 Ensimmäiset harjoitukset pidetään 25.1.
131
132 **HUOM:**  Harjoitukset 11 eivät vaikuta laskuharjoituspisteisiin.
133
134 [[Harjoitus 1>>attach:Harjoitus1.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk1.pdf]]
135 [[Harjoitus 2>>attach:Harjoitus2.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk2.pdf]]
136 [[Harjoitus 3>>attach:Harjoitus3.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk3.pdf]]
137 [[Harjoitus 4>>attach:Harjoitus4.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk4.pdf]]
138 [[Harjoitus 5>>attach:Harjoitus5.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk5.pdf]]
139 [[Harjoitus 6>>attach:Harjoitus6.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk6.pdf]]
140 [[Harjoitus 7>>attach:Harjoitus7.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk7.pdf]]
141 [[Harjoitus 8>>attach:Harjoitus8.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk8.pdf]]
142 [[Harjoitus 9>>attach:Harjoitus9.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk9.pdf]]
143 [[Harjoitus 10>>attach:Harjoitus10.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk10.pdf]]
144 [[Harjoitus 11>>attach:Harjoitus11.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk11.pdf]]
145 [[Harjoitus 12>>attach:Harjoitus12.pdf]] [[Ratkaisut>>attach:ratk12.pdf]]