Analyysin harjoitustyö

Mikä?

Analyysin kurssiin (osat I ja II) liittyy harjoitustyö. Työn tarkoituksena on ongelmanratkaisun sekä korrektin kirjallisen matemaattisen esityksen harjoittelu. Ongelma on jonkin verran tavallista laskuharjoitus- ja koetehtävää laajempi tai muuten vaativampi. Ratkaisu vie yleensä 1-3 sivua.

Työstä annetaan kaksi opintopistettä ilman arvosanaa. Työ on pääaineopiskelijoille pakollinen perus- ja aineopintojen osa, ja se on ainoa kaikille yhteinen tämänlaatuinen kirjallinen harjoitelma ennen kandidaatintutkielmaa.

Milloin?

Työn aiheen voi hakea Analyysi I:n arvostelun valmistumisen jälkeen. Tällöin on jo kertynyt riittävästi luennoitua materiaalia työn aihepiiriksi, ja toisaalta ohjaajilla on silloin myös käytössään koetuloksia opiskelijan arviointia varten. Hyötyä työstä on sitä enemmän, mitä aiemmin sen tekee. Aihetta on toisaalta tarpeetonta hakea ennen kuin työn myös päättää tehdä. Työ on osaltaan valmennusta kandidaatintutkielmaa varten, ja se on siis todellakin syytä tehdä ennen kandidaatintutkielmaa, ei vasta sen jälkeen!

Ohjaajat

Töiden aiheita antaa Analyysin harjoitustyön ohjaaja Aapo Halko. Aiheen lisäksi ohjaajalta saa työtä koskevan ohjelehtisen. Näiden verkkosivujen tarkoitus puolestaan on kertoa harjoitustyöstä ohjelehtistä yleisemmin.

Vastaanottoajat keväällä 2015:

ratkomo (aula) to 12-14
 vastaanotto D343 ma 11.30-13

Analyysin harjoitustyön voi palauttaa ohjaajille sähköisesti, paperiversiota ei vaadita. Erityisesti tällöin opiskelijanumero on mainittava työssä.

Tavoitteet

Harjoitustyön tavoitteet ovat kahtalaiset.

1. Työ syventää kurssilla opittujen asioiden hallintaa. Harjoitustyö asetetaan useimmiten ratkaistavan ongelman, todistettavan väitteen tai keksittävän esimerkin muodossa. Näin opiskelija joutuu perehtymään matemaattisen todistuksen luonteeseen ja työssä esiintuleviin keskeisiin käsitteisiin. Itse kurssilla näiden omaksuminen on saattanut jäädä liian pinnalliseksi.
2. Työ harjaannuttaa korrektia kirjallista matemaattista esitystaitoa. Matemaattisen tarkkuuden ja huolitellun kirjallisen esityksen käsitteet tulevat konkreettisiksi, kun työtä lukee alati kriittinen ohjaaja. Kirjallista esitystaitoa tarvitsee jokainen opiskelija vaikkapa seminaariesitelmissään ja laboratoriotöiden raportoinnissaan, niin pääaineessaan kuin sivuaineissaankin, sekä tietysti kandidaatin tutkielmassaan ja pro gradussaan. Myöskään työelämässä harvassa tehtävässä selviää ilman korrektin kirjallisen esityksen taitamista. Matematiikan sivuaineopiskelijoilla saattaa pääaineessaan olla vastaava tieteellisen kirjoittamisen kurssi.

Välineet

1. Ongelman ratkaisemisen välineet löytyvät kurssin oppikirjasta ja luennoista. Annetun ongelman ratkaiseminen laskuharjoitustyyliin lähtömateriaalin luomiseksi on tälle työlle ominaista; sellaiseen harjaannutaan itse kurssilla, eikä sellaisesta voi tietenkään antaa mitään kovin yksityiskohtaisia neuvoja. Yleiseksi ohjeeksi voi kylläkin sanoa niin laskuharjoituksia, kokeita kuin tätä harjoitustyötäkin varten, että kurssin lauseiden todistuksissa ja esimerkkien konstruktioissa esitetään juuri sitä tekniikkaa, joka tulee muutenkin käyttöön. Määritelmät ja lauseet on hallittava ja tietyt esimerkit muistettava, mutta todistustekniikka on kurssin varsinainen työkalu. Tämä olisi otettava opiskelussa huomioon kurssin alusta lähtien. Katso myös kohtaa ''Aihe'' alla.
 2. Ongelman ainakin alustavasti ratkettua on saatu raakamateriaali, joka sitten esitetään yksityiskohtaisesti ja viimeistellysti. Tavoitteena on tekstin mahdollisimman vaivaton luettavuus. Kirjallisesta matemaattisesta esityksestä — toisin kuin ongelmanratkaisusta — voi kyllä antaa yksityiskohtaisia neuvoja. Näitä on käsitelty ohjaajalta saatavassa ohjelehtisessä; niihin pitää perehtyä tarkoin ja niitä pitää noudattaa. Tähän liittyy kohta ''Hiominen'' alla. Kielen suhteen on muisteltava kouluopetusta. On huomattava, että oikeiden sanontojen löytäminen voi tuottaa vaivaa. Työ kirjoitetaan puhtaaksi käsin tai tekstinkäsittelyohjelmalla, joista LaTeX on suositeltavin. Katso esimerkkiharjoitustyö.

Aihe: Sen antamisen ja ratkaisemisen vaikeus

Opiskelijalle pyritään löytämään ongelma, jonka ratkaiseminen tarjoaisi toisaalta haasteita ja toisaalta onnistumisen iloa. Sopivan tehtävän valitseminen laajasta, vakiintuneesta kokoelmasta on myös oma haasteensa työn ohjaajalle. Opiskelijan ei kuitenkaan tarvitse eikä pidä jäädä pulaan liian vaikean aiheen kanssa, sillä ohjaaja antaa kyllä neuvoja opiskelijan perehdyttyä ensin aiheeseen. Asia voidaan ymmärtää siltäkin kannalta, että näinhän ohjaajalla on tilaisuus korjata mahdollinen epäonnistumisensa aiheen annossa! Työ ei mene pilalle, vaikka vihjeitä saisikin, sillä niiden jälkeenkin on vasta korkeintaan työn raakamateriaali kasassa, ja itse kirjoitustyö tarjoaa sitten kyllä aina omat haasteensa. Toisaalta monesti on käynyt niin, että tarkoituksellisen helppoihin annettuihin aiheisiin ei ilmeisesti ole tartuttu lainkaan.

Hiominen

Ei pidä unohtaa tekstinsä tarkastamista ja hiomista työn eri vaiheissa. Ratkaisu on kauttaaltaan asetettava kriittisen silmän alle. Päteekö jokainen väite? Voisiko virkkeitä selventää? Onko turha karsittu pois? Tavoitteena tietysti on niin lopullinen esitys, että siihen ei jää mitään parantamisen varaa. Tämä tavoite korostuu myöhemmin kandidaatintutkielmassa ja pro gradussa. Auttaa, jos kirjoittaja tarkastusvaiheessa yrittää asettua lukijansa asemaan. Useampi kirjoituskerta parantaa tekstiä, sillä tottunutkaan kirjoittaja ei saa kerralla valmista. Puhtaaksikirjoitettu teksti on oikoluettava.

Tavallinen virhe on, että kaavan muuttuja on jätetty kvantifioimatta, jolloin kaava ei tarkoitakaan mitään.

Työmäärä

Harjoitustyön tekijän on tavallisimmin tavattava ohjaajansa useita kertoja ennen kuin tämä voi lopulta kertoa hyväksyvänsä työn. Yksi tapaaminen saatetaan tarvita pelkästään ratkaisun luonnostelemiseksi. Jos opiskelijan ratkaisusta paljastuu matemaattisia aukkoja tai virheitä, ohjaajan neuvot ovat (jälleen) tarpeen. Ohjaaja tarkastelee tekstiä aina myös esityksen kannalta ja tekee tarvittaessa huomautuksia pienimmistäkin seikoista. Uusia versioita voi tekijä näin joutua laatimaan useampiakin. Siksipä ohjeiden noudattaminen ja huolellisuus jo alusta lähtien säästävät työtä!