Stokastinen analyysi, kevät 2010                                                       (english)

Luennoitsija

Dario Gasbarra

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset: Todennäköisyysteoria.

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 10-12, ti 12-14 C124, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Pääsiäisloma 1.-7.4.

Kokeet.

Kurssi suoritetaan laskemalla viikottain harjioitustehtäviä ja kotitentilla.

Kotitenttin kysymykset löytyvät luentomonisteen viimeisesta luvusta

luennoitsijan muistiinpanot, harjoitukset

Sisältö:

Kurssi käsittelee jatkuvien martingaalien ja stokastisenn integroinnin teoriaa.

I. Diskreetti aikanen martingaali teoriaa. Ehdollinen odotusarvo, filtraatiot ja pysähdyshetket. Tasaisesti integroituvia martingaalit, neliö integroituvia martingaalit martingaali konvergenssi lause , Doobin maksimaalinen epäyhtälö.

II. Stokastiset prosessit jatkuvassa ajassa. Brownin liike, sen konstruktioita ja ominaisuuksia. Poisson ja Levy prosessien perusmääritelmät. Markovin prosessit. Vahva Markovin ominaisuus.

III. Iton kalkyyli: Rajoitetusti heilahtelevat funktiot ja Stieltjes integraalit. Qvadraattinen variaatio, Iton isometria Brownin liikkeelle ja Ito integraali. Lokalisaatio. Burkholder Davis Gundy epäyhtälö Föllmerin poluttainen integraali, Iton kaava, Lokaali aika, Ito-Tanakan kaava.

IV Mitan vaihto: Girsanovin kaava, stokastinen eksponentiaali, Gronwallin lemma. Sovelluksia stokastisen filteroinnin teoriaan.

V Stokastiset differentiaali yhtälöt, heikot ja vahvat ratkaisut, martingaali-ongelma. Sovelluksia: Probabilistiset ratkaisut osittaisdifferentiaali yhtälöille. Kakutanin lause, Feynman-Kacin kaava.

VI. Ito-Clarck martingaali esitys lause. Sovelluksia: optioiden hinnoittelu Black & Scholes osake mallissa.

Kirjallisuus:

Diskreettiaikasta martingaaliteoriaa luemme David Williamsin kirjasta: Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks).

Karatzas, Shreve: Brownian motion and stochastic calculus, Springer 1998.

Revuz, Yor: Continuous martingales and Brownian motion, Springer 2005.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset