Martingaalit ja harmoninen analyysi, kevät 2008

Luennoitsija

Tuomas Hytönen

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Mitta ja integraali
 Reaalianalyysi I:n alkuosa (Lp-avaruudet, Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälö)

Todennäköisyyslaskennan esitietoja ei vaadita, vaan tarvittavat käsitteet pyritään esittelemään analyysin näkökulmasta.

Kurssikuvaus

Kurssi sijoittuu klassisen analyysin ja todennäköisyyslaskennan välimaaston, niin että stokastiikasta peräisin olevaa martingaalin käsitettä käytetään apuna analyysin singulaaristen integraalien tarkastelussa. Tämä vuorovaikutus on tärkeä mm. yleistettäessä tuloksia vektoriarvoisille funktioille, mikä liittyy ajankohtaiseen tutkimukseen ja tuo mukaan myös funktionaalianalyyttisen yhteyden.

Kurssin aihepiiristä on haluttaessa saatavissa eri tasoisia opinnäyteaiheita.

Luentoajat

Viikot 11-18 ke 14-16, to 14-16 B322.

Pääsiäisloma 20.-26.3.

Kurssimateriaali

Luennoijan moniste Martingales and harmonic analysis

Sisältö

Alustava sisältö:

• ehdollinen odotusarvo
• diskreettiaikainen martingaali
• Burkholderin epäyhtälö martingaalimuunnoksille
• Haarin kanta erikoistapauksena martingaalierotusjonosta
• Hilbertin muunnos singulaarisena integraalina
• Petermichlin esitys Hilbertin muunnokselle dyadisten siirtojen keskiarvona
• Bourgainin esitys martingaalimuunnoksille Hilbertin muunnoksen avulla