Last modified by gasbarra@helsinki_fi on 2024/03/27 09:58
Show last authors
1 = Malliavin-laskenta, Malliavin calculus, kevät/spring 2009 =
2
3 === Luennoitsija ===
4
5 [[Dario Gasbarra>>doc:mathstatHenkilokunta.Gasbarra, Dario]]
6
7 === Laajuus ===
8
9 10 op.
10
11 === Tyyppi ===
12
13 Syventävä opinto
14
15 === Esitietovaatimukset ===
16
17 Todennäköisyysteoria. Tarvittavat esitiedot stokastisesta analyysistä ja funktionaalianalyysistä esitetään kurssin aikana.
18
19 === The lectures will be given in english. ===
20
21 === Luentoajat ===
22
23 Viikot 3-9 ja 11-18 to 10-12 C124, pe 14-16 D123. Ensimmäinen luento to 15.1.
24
25 Pääsiäisloma 9.-15.4.
26
27 Kurssi jatkuu vielä toukokuussa viikoilla 19,20,21, torstaisin 10-12 ja perjantaisin 14-16 luokassa C124.
28
29 === Suoritustapa: ===
30
31 Kurssi suoritetaan tekemällä laskuharjoitustehtäviä:
32
33 === [[Harjoitustehtävät ja ratkaisut>>doc:mathstatKurssit.57072.Malliavin-laskenta, kevät 2009.problems_malliavin_09.WebHome]] ===
34
35 === Kurssin kuvaus ===
36
37 Stokastisessa analyysissa keskeinen käsite on Iton stokastinen integraali Brownin liikkeen suhteen (1944). Alussa klassinen Frechetin derivointi teoria Banach avaruudessa ei sovinnut hyvin probabilistisen Iton integrointiteorian kanssa.Vuonna 1976 Paul Malliavin esitti uutta tapaa derivoida Brownin liikkeen prosessin funktionaaleja. Malliavin laskennan avulla stokastisen integraalin käsite on laajennettu ei adaptoiduille integrandille. Tulokset ovat hyvin käytännöllisiä: esimerkiksi rahoitusteoriassa, Ito-Clarck-Oconen esityslauseen avulla voidaan käsitellä eksottisten optioiden hinnoittelua ja suojausta.
38
39 === Sisältö (alustavasti) ===
40
41 ==== Gaussinen mitta Banach ja Hilbert avaruudessa. ====
42
43 Gaussiset satunnaismuuttujat, Ferniquen lause,Isonormaali gaussinen prosessi, valkoinen häly,mitan vaihto ja Cameron-Martin lause,Hermiten polynomit, abstrakti kaaoskehitelmä.
44 Brownin liike ja valkoinen häly, Filtraatiot ja martingaalit, Iton isometria ja Iton integraali, Girsanovin lause,moninkertaiset Wiener-integraalit ja kaaoskehitelmä.
45
46 ==== Malliavin-derivaatta ====
47
48 Derivointi Banach-avaruuksissa,Derivointi Wiener-avaruudessa, Yleinen gaussinen määrittely
49 Kaaoskehitelmän derivaatta.
50
51 ==== Divergenssi ja Skorohod-integraali ====
52
53 Liitto-operaattoreista, Divergenssi liitto-operaattorina,Kaaoskehitelmän divergenssi ,Antisipatiiviset stokastiset integraalit, Ito-Clark-Ocone-esityslause
54
55 ==== Ornstein-Uhlenbeck puoliryhmä ====
56
57 Hyperkontraktiivisuus. Sobolevin upotukset.
58
59 ==== Sovelluksia: ====
60
61 Stokastiset differentiaaliyhtälöt, osittaisintegrointi kaava ja Hörmanderin lause.
62 Black ja Scholes markkinamalli, optioiden hinnoittelu. Portfolion herkyysparametrien numeerinen laskenta osittais-integrointi kaavan avulla.
63
64 === Kirjallisuus ===
65
66 Sottinen, Tommi:[[Malliavin laskenta eli gaussisten prosessien derivointi>>url:http://www.math.helsinki.fi/~~tsottine/malliavin-laskenta/malliavin.pdf||shape="rect"]], luentomoniste.
67
68 Luennot perustuvat kirjoihin
69
70 * G. Da Prato: An introduction to Infinte-Dimensional Analysis. Springer 2006.
71 * D. Nualart :The Malliavin calculus and related topics. Probability and its Applications. Springer-Verlag, New York, 2005
72
73 Muita kirjoja Malliavin-laskennasta:
74
75 * D. Bell : The Malliavin calculus. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 34, 1987.
76 * Bouleau N. //Error Calculus for Finance and Physics: The Language of Dirichlet Forms// , De Gruyter Expositions in Mathematics, 2003.
77 * Bouleau N., Hirsch F. //Dirichlet Forms and Analysis on Wiener Space// , De Gruyter Studies in Mathematics, 1991.
78 * R. Carmona, M. Tehranchi: Interest Rate Models, An Infinite-dimensional Stochastic Analysis Perspective, 2006.
79 * G. Di Nunno, B. Øksendal, F. Proske: Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance, 2009.
80 * Malliavin, Paul: Stochastic analysis, 1997.
81 * Malliavin P. Thalmaier A. //Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance// , Springer Finance, 2006.
82 * A. Üstünel, An introduction to analysis on Wiener space. Lecture Notes in Mathematics, 1610. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
83 * Shigekawa I., //Stochastic analysis// , AMS 2004.
84
85 Netissä vapaasti saatavilla:
86
87 * Øksendal, Bernt: [[An introduction to Malliavin calculus with applications to economics>>url:http://bora.nhh.no:8080/bitstream/2330/841/1/oksendal%20bernt%20wp0396.pdf||shape="rect"]], 1997.
88 * P. Friz: [[An introduction to Malliavin calculus>>url:http://www.statslab.cam.ac.uk/~~peter/malliavin/Malliavin2005/mall.pdf||shape="rect"]], 2005.
89
90 Tästä omat muistinpanot gaussisista mitoista [[Banach>>url:http://www.rni.helsinki.fi/~~dag/malliavin07/complements_banach.pdf||shape="rect"]] ja [[Hilbert>>url:http://www.rni.helsinki.fi/~~dag/malliavin07/complements_hilbert.pdf||shape="rect"]] avaruuksissa. [[kalvot (slides)>>attach:malliavin_slides_2013.pdf]]
91
92 === [[Ilmoittaudu>>url:https://oodi-www.it.helsinki.fi/hy/opintjakstied.jsp?html=1&Tunniste=57072||shape="rect"]] ===
93
94 === Laskuharjoitukset ===
95
96 |=(((
97 Ryhmä
98 )))|=(((
99 Päivä
100 )))|=(((
101 Aika
102 )))|=(((
103 Paikka
104 )))|=(((
105 Pitäjä
106 )))
107 |(((
108 1.
109 )))|(((
110 ke
111 )))|(((
112 14 - 16
113 )))|(((
114 C323
115 )))|(((
116 Peng Mei
117 )))