Malliavin-laskenta, Malliavin calculus, kevät/spring 2009

Luennoitsija

Dario Gasbarra

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

 Todennäköisyysteoria. Tarvittavat esitiedot stokastisesta analyysistä ja funktionaalianalyysistä esitetään kurssin aikana.

The lectures will be given in english.

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 to 10-12 C124, pe 14-16 D123. Ensimmäinen luento to 15.1.

Pääsiäisloma 9.-15.4.

Kurssi jatkuu vielä toukokuussa viikoilla 19,20,21, torstaisin 10-12 ja perjantaisin 14-16 luokassa C124.

Suoritustapa:

Kurssi suoritetaan tekemällä laskuharjoitustehtäviä:

Harjoitustehtävät ja ratkaisut

Kurssin kuvaus

Stokastisessa analyysissa keskeinen käsite on Iton stokastinen integraali Brownin liikkeen suhteen (1944). Alussa klassinen Frechetin derivointi teoria Banach avaruudessa ei sovinnut hyvin probabilistisen Iton integrointiteorian kanssa.Vuonna 1976 Paul Malliavin esitti uutta tapaa derivoida Brownin liikkeen prosessin funktionaaleja. Malliavin laskennan avulla stokastisen integraalin käsite on laajennettu ei adaptoiduille integrandille. Tulokset ovat hyvin käytännöllisiä: esimerkiksi rahoitusteoriassa, Ito-Clarck-Oconen esityslauseen avulla voidaan käsitellä eksottisten optioiden hinnoittelua ja suojausta.

Sisältö (alustavasti)

Gaussinen mitta Banach ja Hilbert avaruudessa.

Gaussiset satunnaismuuttujat, Ferniquen lause,Isonormaali gaussinen prosessi, valkoinen häly,mitan vaihto ja Cameron-Martin lause,Hermiten polynomit, abstrakti kaaoskehitelmä.
 Brownin liike ja valkoinen häly, Filtraatiot ja martingaalit, Iton isometria ja Iton integraali, Girsanovin lause,moninkertaiset Wiener-integraalit ja kaaoskehitelmä.

Malliavin-derivaatta

Derivointi Banach-avaruuksissa,Derivointi Wiener-avaruudessa, Yleinen gaussinen määrittely
 Kaaoskehitelmän derivaatta.

Divergenssi ja Skorohod-integraali

Liitto-operaattoreista, Divergenssi liitto-operaattorina,Kaaoskehitelmän divergenssi ,Antisipatiiviset stokastiset integraalit, Ito-Clark-Ocone-esityslause

Ornstein-Uhlenbeck puoliryhmä

Hyperkontraktiivisuus. Sobolevin upotukset.

Sovelluksia:

Stokastiset differentiaaliyhtälöt, osittaisintegrointi kaava ja Hörmanderin lause.
 Black ja Scholes markkinamalli, optioiden hinnoittelu. Portfolion herkyysparametrien numeerinen laskenta osittais-integrointi kaavan avulla.

Kirjallisuus

 Sottinen, Tommi:Malliavin laskenta eli gaussisten prosessien derivointi, luentomoniste.

Luennot perustuvat kirjoihin

• G. Da Prato: An introduction to Infinte-Dimensional Analysis. Springer 2006.  
• D. Nualart :The Malliavin calculus and related topics. Probability and its Applications. Springer-Verlag, New York, 2005

Muita kirjoja Malliavin-laskennasta:

• D. Bell : The Malliavin calculus. Pitman Monographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics 34, 1987.
• Bouleau N. Error Calculus for Finance and Physics: The Language of Dirichlet Forms , De Gruyter Expositions in Mathematics, 2003.
• Bouleau N., Hirsch F. Dirichlet Forms and Analysis on Wiener Space , De Gruyter Studies in Mathematics, 1991.
• R. Carmona, M. Tehranchi: Interest Rate Models, An Infinite-dimensional Stochastic Analysis Perspective, 2006.
• G. Di Nunno, B. Øksendal, F. Proske: Malliavin Calculus for Lévy Processes with Applications to Finance, 2009.
• Malliavin, Paul: Stochastic analysis, 1997.
• Malliavin P. Thalmaier A. Stochastic Calculus of Variations in Mathematical Finance , Springer Finance, 2006.
• A. Üstünel, An introduction to analysis on Wiener space. Lecture Notes in Mathematics, 1610. Springer-Verlag, Berlin, 1995.
• Shigekawa I., Stochastic analysis , AMS 2004.

Netissä vapaasti saatavilla:

• Øksendal, Bernt: An introduction to Malliavin calculus with applications to economics, 1997.
• P. Friz: An introduction to Malliavin calculus, 2005. 

Tästä omat muistinpanot gaussisista mitoista Banach ja Hilbert avaruuksissa. kalvot (slides)

Ilmoittaudu

Laskuharjoitukset