Last modified by jramo@helsinki_fi on 2024/02/13 07:37
Show last authors
1 = Oppimistavoitteet, Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II =
2
3
4
5 Alla olevasta taulukosta voi tarkistaa, millä tasolla kurssilla opittavat aihealueet olisi tarkoitus osata. Tarvittavat lähtötaidot olisi hyvä omata jo ennen kurssin alkua. Tähdellä merkityt asiat opitaan kurssilla Johdatus yliopistomatematiikkaan, jonka voi käydä tämän kurssin kanssa yhtä aikaa.
6
7 Oppimistavoitetta lähestyvät taidot omaava on jo oppinut kurssilla opetettavia asioita merkittävässä määrin. Oppimistavoitteen saavuttaminen kaikissa osa-alueissa tarkoittaa käytännössä, että on mahdollisuus korkeimpaan arvosanaan.
8
9 Huom. Tässä taulukossa "vektoriavaruus" tarkoittaa aina äärellisulotteista reaalikertoimista vektoriavaruutta **R** ^^n^^ tai sellaisen aliavaruutta (esim. suoraa, tasoa, 3-ulotteista avaruutta jne.) ja "vektori" äärellisulotteista reaalikomponenttista vektoria.
10
11 === Aihesisällöt ===
12
13 |=(((
14
15 )))|=(((
16 Esitiedot
17 )))|=(((
18 Oppimistavoitetta lähestyvät taidot
19 )))|=(((
20 Oppimistavoitteen saavuttavat taidot
21 )))
22 |(((
23 **Vektoriavaruudet**
24 )))|(((
25 Osaa selvittää, kuuluuko annettu avaruuden **R**^^n^^ vektori toisten vektorien virittämään aliavaruuteen.
26
27 Osaa selvittää, onko avaruuden **R**^^n^^ vektorien muodostama jono vapaa.
28
29 Osaa selvittää, onko annettu avaruuden **R**^^n^^ vektorijono avaruuden kanta.
30 )))|(((
31 Ymmärtää, että muutkin kuin avaruuden **R**^^n^^ alkiot voivat olla vektoreita (esim. matriisit, vektorit, kuvaukset).
32
33 Hahmottaa origon kautta kulkevat suorat ja tasot avaruuden **R**^^n^^ aliavaruuksina.
34
35 Osaa käsitellä virittämistä, vapautta ja kantaa yleisessä vektoriavaruudessa samaan tapaan kuin avaruudessa **R**^^n^^ (ks. esitiedot).
36
37 Osaa määrittää vektorin koordinaattivektorin annetun kannan suhteen.
38
39
40 )))|(((
41 Osaa osoittaa osajoukon aliavaruudeksi tai näyttää vastaesimerkillä, että kyseessä ei ole aliavaruus.
42
43 Ymmärtää, että aliavaruudet ovat vektoriavaruuksia.
44
45 Osaa määrittää aliavaruuden dimension, kun kanta on helppo löytää.
46
47 Osaa vaihtaa koordinaattiesityksestä toiseen käyttäen kannanvaihtomatriisia.
48 )))
49 |(((
50 **Lineaarikuvaukset**
51 )))|(((
52 Tietää, kuinka matriseilla voi kertoa vektoreita.
53
54 Osaa määrittää matriisin ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisvektorit.
55
56 Osaa määrittää osajoukon kuvan sekä alkukuvan kuvauksessa.*
57
58 Osaa tutkia, onko annettu kuvaus injektio, surjektio tai bijektio.*
59 )))|(((
60 Tietää, kuinka matriisit tuottavat lineaarikuvauksia ja osaa määrittää lineaarikuvauksen standardimatriisin.
61
62 Pystyy määrittämään lineaarikuvauksen arvoja, kun kantavektorien kuvavektorit tiedetään.
63
64 Osaa tutkia, onko annettu vektori lineaarikuvauksen ytimessä tai kuvassa.
65
66 Osaa määrittää lineaarikuvauksen ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisavaruudet.
67
68 Osaa näyttää, että kuvaus on lineaarinen tai osoittaa vastaesimerkillä, että kyseessä ei ole lineaarikuvaus.
69 )))|(((
70 Tietää, että lineaarikuvauksen matriisin sarakkeet ovat luonnollisen kannan vektorien kuvavektorit ja osaa hyödyntää tätä lineaarikuvauksen matriisin määrittämisessä.
71
72 Osaa määrittää lineaarikuvauksen ytimen ja kuvan sekä aliavaruuden kuvan lineaarikuvauksessa.
73
74 Tietää, kuinka lineaarikuvauksen injektiivisyyden näkee kuvauksen ytimestä.
75
76 Osaa tarkistaa, onko lineaarikuvaus isomorfismi.
77
78 Osaa päätellä lineaarikuvauksen ominaisarvot ja ominaisvektorit kuvauksen geometristen omiaisuuksien perusteella.
79 )))
80 |(% colspan="1" %)(% colspan="1" %)
81 (((
82 **Sisätulo**
83 )))|(% colspan="1" %)(% colspan="1" %)
84 (((
85 Hallitsee avaruuden **R**^^n^^ pistetuloon perustuvat kohtisuoruuden ja normin määritelmät.
86
87 Osaa käyttää avaruuden **R**^^n^^ pistetulon laskusääntöjä.
88
89 Osaa kuvan perusteella määrittää vektorin projektion yhden vektorin virittämälle aliavaruudelle.
90 )))|(% colspan="1" %)(% colspan="1" %)
91 (((
92 Hahmottaa sisätulon pistetulon yleistyksenä.
93
94 Hallitsee kohtisuoruuden ja normin määritelmät sisätulon tapauksessa ja osaa laskea niillä.
95
96 Osaa päätellä, onko annettu vektori aliavaruuden kohtisuorassa komplementissa.
97
98
99 )))|(% colspan="1" %)(% colspan="1" %)
100 (((
101 Osaa määrittää aliavaruuden kohtisuoran komplementin.
102
103 Osaa määrittää vektorin projektion usean vektorin virittämälle aliavaruudelle.
104
105 Osaa määrittää vektorin kohtisuoran komponentin annettua aliavaruutta vastaan.
106 )))
107
108 * Asia opitaan kurssilla Johdatus yliopistomatematiikkaan, jonka voi käydä tämän kurssin kanssa yhtä aikaa.