Vektoriavaruudet

Osaa selvittää, kuuluuko annettu avaruuden Rⁿ vektori toisten vektorien virittämään aliavaruuteen.

Osaa selvittää, onko avaruuden Rⁿ vektorien muodostama jono vapaa.

Osaa selvittää, onko annettu avaruuden Rⁿ vektorijono avaruuden kanta.

Ymmärtää, että muutkin kuin avaruuden Rⁿ alkiot voivat olla vektoreita (esim. matriisit, vektorit, kuvaukset).

Hahmottaa origon kautta kulkevat suorat ja tasot avaruuden Rⁿ aliavaruuksina.

Osaa käsitellä virittämistä, vapautta ja kantaa yleisessä vektoriavaruudessa samaan tapaan kuin avaruudessa Rⁿ (ks. esitiedot).

Osaa määrittää vektorin koordinaattivektorin annetun kannan suhteen.

Osaa osoittaa osajoukon aliavaruudeksi tai näyttää vastaesimerkillä, että kyseessä ei ole aliavaruus.

Ymmärtää, että aliavaruudet ovat vektoriavaruuksia.

Osaa määrittää aliavaruuden dimension, kun kanta on helppo löytää.

Osaa vaihtaa koordinaattiesityksestä toiseen käyttäen kannanvaihtomatriisia.

Lineaarikuvaukset

Tietää, kuinka matriseilla voi kertoa vektoreita.

Osaa määrittää matriisin ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisvektorit.

Osaa määrittää osajoukon kuvan sekä alkukuvan kuvauksessa.*

Osaa tutkia, onko annettu kuvaus injektio, surjektio tai bijektio.*

Tietää, kuinka matriisit tuottavat lineaarikuvauksia ja osaa määrittää lineaarikuvauksen standardimatriisin.

Pystyy määrittämään lineaarikuvauksen arvoja, kun kantavektorien kuvavektorit tiedetään.

Osaa tutkia, onko annettu vektori lineaarikuvauksen ytimessä tai kuvassa.

Osaa määrittää lineaarikuvauksen ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisavaruudet.

Osaa näyttää, että kuvaus on lineaarinen tai osoittaa vastaesimerkillä, että kyseessä ei ole lineaarikuvaus.

Tietää, että lineaarikuvauksen matriisin sarakkeet ovat luonnollisen kannan vektorien kuvavektorit ja osaa hyödyntää tätä lineaarikuvauksen matriisin määrittämisessä.

Osaa määrittää lineaarikuvauksen ytimen ja kuvan sekä aliavaruuden kuvan lineaarikuvauksessa.

Tietää, kuinka lineaarikuvauksen injektiivisyyden näkee kuvauksen ytimestä.

Osaa tarkistaa, onko lineaarikuvaus isomorfismi.

Osaa päätellä lineaarikuvauksen ominaisarvot ja ominaisvektorit kuvauksen geometristen omiaisuuksien perusteella.

Sisätulo

Hallitsee avaruuden Rⁿ pistetuloon perustuvat kohtisuoruuden ja normin määritelmät.

Osaa käyttää avaruuden Rⁿ pistetulon laskusääntöjä.

Osaa kuvan perusteella määrittää vektorin projektion yhden vektorin virittämälle aliavaruudelle.

Hahmottaa sisätulon pistetulon yleistyksenä.

Hallitsee kohtisuoruuden ja normin määritelmät sisätulon tapauksessa ja osaa laskea niillä.

Osaa päätellä, onko annettu vektori aliavaruuden kohtisuorassa komplementissa.

Osaa määrittää aliavaruuden kohtisuoran komplementin.

Osaa määrittää vektorin projektion usean vektorin virittämälle aliavaruudelle.

Osaa määrittää vektorin kohtisuoran komponentin annettua aliavaruutta vastaan.