Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, aihealueet
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Kurssin oppimistavoitteet: aihealueet
Alla olevasta taulukosta voi tarkistaa, millä tasolla kurssilla opittavat aihealueet olisi tarkoitus osata. Tarvittavat lähtötaidot olisi hyvä omata jo ennen kurssin alkua. Oppimistavoitetta lähestyvät taidot omaava on jo oppinut kurssilla opetettavia asioita merkittävässä määrin. Oppimistavoitteen saavuttaminen kaikissa osa-alueissa tarkoittaa käytännössä, että on mahdollisuus korkeimpaan arvosanaan.
Huom. Tässä taulukossa "vektoriavaruus" tarkoittaa aina äärellisulotteista reaalikertoimista vektoriavaruutta R n tai sellaisen aliavaruutta (esim. suoraa, tasoa, 3-ulotteista avaruutta jne.) ja "vektori" äärellisulotteista reaalikomponenttista vektoria.
| Tarvittavat lähtötaidot | Oppimistavoitetta lähestyvät taidot | Oppimistavoitteen saavuttavat taidot |
|---|---|---|---|
Vektorien operaatiot | Osaa laskea koulusta tutuilla vektorien laskutoimituksilla (yhteenlasku, kertominen luvulla, pistetulo). Osaa havainnollistaa vektorien yhteenlaskua ja vektorin kertomista reaaliluvulla kuvan avulla. | Osaa selvittää, onko vektori toisten vektorien lineaarikombinaatio. Osaa tarkistaa, ovatko annetut vektorit kohtisuorassa. Osaa laskea vektorin pituuden.
| Osaa hyödyntää vektorien laskutoimitusten ominaisuuksia (esim. osittelulaki). Osaa määrittää vektorin projektion annetulle aliavaruudelle niin laskemalla kuin kuvan perusteella.
|
Vektoriavaruudet | Osaa piirtää suoran, kun sen yhtälö on annettu. Osaa tarkistaa, onko annettu piste suoralla, jonka yhtälö on annettu. | Osaa selvittää, kuuluuko vektori toisten vektorien virittämään aliavaruuteen. Osaa selvittää, onko annettujen vektorien muodostama jono vapaa. Osaa selvittää, onko annettu vektorijono annetun vektoriavaruuden kanta. Osaa määrittää annetun vektorin koordinaatit annetun kannan suhteen. | Hahmottaa, että origon kautta kulkevat suorat ja tasot ovat vektorien virittämiä aliavaruuksia. Osaa selvittää aliavaruuden dimension, kun kanta on helppo löytää. |
Matriisit |
| Osaa suorittaa matriisien peruslaskutoimitukset (yhteenlasku, skalaarilla kertominen, kertolasku). Osaa selvittää määritelmän perusteella, ovatko matriisit toistensa käänteismatriiseja. Osaa laskea 2×2- ja 3×3-matriisien determinantit. Osaa tarkistaa määritelmää käyttäen, onko annettu vektori matriisin ominaisvektori. | Osaa selvittää determinantin avulla, onko annettu matriisi kääntyvä. Ymmärtää, että ominaivektorille matriisikertolasku vastaa skalaarikertolaskua, ja osaa soveltaa tätä tietoa. Löytää 2×2- ja 3×3-matriisien ominaisarvot ja niitä vastaavat ominaisvektorit. |
Yhtälöryhmät | Osaa ratkaista yhtälöitä sekä yksinkertaisia ensimmäisen asteen yhtälöpareja. | Löytää annetun lineaarisen yhtälöryhmän kaikki ratkaisut Gaussin-Jordanin menetelmällä. Osaa muodostaa yhtälöryhmää vastaavan kerroinmatriisin. | Osaa määrittää yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärän porrasmatriisista. Tunnistaa kerroinmatriisin kääntyvyyden perusteella, milloin yhtälöryhmällä on yksikäsitteinen ratkaisu. |