Topologia Ib -- kurssiblogi syksy 2016

Viikko 7 Wrap-up

Tällä kurssin viimeisellä luentoviikolla tarkastellaan vielä polkuyhtenäisyyden ja yhtenäisyyden eroja. Lisäksi puhutaan metrisen avaruuden komponenteista ja palataan homeomorfismeihin. Keskiviikkona käydään vielä kerran läpi kurssin sisältöä ja kokeeseen tulevia asoita.

Tämän syksyn kurssilla on tehty monenlaisia kokeiluja, joista olisi mukava saada palautetta teiltä. Erityisesti olisi kiva saada vastauksia seuraaviin kysymyksiin:

Onko tästä blogista ollut apua opiskelussa? Entä miltä ovat preppaustehtävät tuntuneet ja miten niitä voisi parantaa? Onko vertaispalaute laskuharjoitustehtävistä ollut hyödyllistä? Mitä muuttaisit laskareiden suhteen? Onko 3 tuntia luentoja + 1 tunti ratkomoa mielestäsi hyvä idea vai mikä olisi mielestäsi parempi järjestely?

Tietysti kaikki muukin palaute kurssista (luennoista, harjoituksista, yms.) on tervetullutta!

Viikko 6 Yhtenäisyys ja polkuyhtenäisyys

Yhtenäisyys on tyypillistä määritellä negaation kautta: avaruus on yhtenäinen, jos se ei ole epäyhtenäinen. Syynä tähän on se, että epäyhtenäisyys on suoraviivaista määritellä ja konkreettisissa tilanteissa helppo varmentaa: riitää löytää avoimet joukot epätyhjät erilliset joukot jotka peittävät avaruuden. Avaruuden osoittaminen yhtenäiseksi sen sijaan on hankalampaa, joska pitää varmistaa, että tälläisiä avoimia joukkoja ei löydy.

Jos avaruuden haluaa osoittaa yhtenäiseksi, kannattaa usein lähteä etsimään avaruutta, jonka tietää yhtenäiseksi, ja tämän jälkeen käyttää yleisiä tuloksia yhtenäisyys ongelman palauttamiseksi tähän tuttuun tilanteesseen. Yksi systemaattinen tapa on vaikkapa yrittää näyttää, että tarkasteltava avaruus on polkuyhtenäinen, joka perustuu tietoon, että reaaliakselin välit ovat yhtenäisiä joukkoja. Tästä ja muista yleisistä tuloksista puhutaan tällä viikolla.

Materiaali: Luku 14
Aihe: Yhtenäisyys ja polkuyhtenäisyys.

Viikko 5 Kompaktius, peitteet ja yhtenäisyys

Tällä viikolla jatketaan kompaktiuden käsittelemistä, mutta hieman eri suunnasta eli avointen peitteiden kautta. Paljastuu, että avaruus on kompakti, jos jokaisella avoimella peitteellä on äärellinen osapeite. Tämä ominaisuus jopa karakterisoi kompaktit avaruudet.

Avoimet peitteet antavat myös aasinsillan toiseen topologian tärkeään käsitteeseen, eli yhtenäisyyteen. Yhtenäisyyden käsittelyä jatketaan vielä seuraavalla viikolla.

Materiaali: Luku 13 (loppu) + Luku 14.
Aihe: Avoimet peitteet ja kompaktius, yhtenäisyys.

Viikko 4 Kompaktius

Kompaktius on yksi topologian keskeisimmistä käsitteistä. Ensi näkemältä se vaikuttaa hyvin samanlaiselta kuin täydellisyys. Täydellisyyshän lupaa, että jokaisella Cauchy-jonolla on raja-arvo. Tässä mielessä täydellisyys on helppo käsite mieltää: Jos jono näyttää suppenevan (eli on Cauchy), niin se myös täydellisessä avaruudessa suppenee. Kompaktius on käsitteenä huomattavasti kierompi.

Kompaktius lupaa, että jokaisella jonolla on suppeneva osajono. Siis aivan jokaisella jonolla! Suppenevan osajonon ei tarvitse myöskään kertoa muusta jonosta yhtään mitään!

Kompaktiuden tärkeyttä on vaikea ylikorostaa. Se on välillisesti tuttu jo analyysistä. Esimerkiksi tuttu tulos, että jatkuva funktio suljetulla ja rajoitetulla välillä saa suurimman ja pienimmän arvon, on sovellus tuloksesta, että kompaktin joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on kompakti. Samoin tulos, että jatkuva funktio suljetulla ja rajoitetulla välillä on tasaisesti jatkuva, on erikoistapaus yleisestä tuloksesta, että kompaktin avaruuden jatkuva kuvaus on tasaisesti jatkuva. Tämän kurssin kannalta on myös mielenkiintoista huomata, että kompaktius on aidosti topologinen ominaisuus, eli homeomorfisista avaruuksista toinen on kompakti, niin tällöin myös toinen on kompakti. (Tämä ei esimerkiksi päde täydellisyydelle.)

Kompaktiutta käsitellään poikkeuksellisesti yhden viikon sijaan kahdella viikolla. Tällä viikolla käsitellään luvun alkupuoli ja peitteitä koskevat tulokset seuraavalla viikolla.

Materiaali: Luku 13.
Aihe: Kompaktius.

Viikko 3 Cauchy-jonot ja täydellisyys

Yksi tärkeä ero rationaalilukujen ja reaalilukujen välillä on ns. supreemum aksiooma. Jokaisella ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä reaalilukujoukolla on pienin yläraja. Rationaaliluvuilla ei tälläistä ominaisuutta ole; supremum kyllä on olemassa, mutta sen tarvitse olla rationaalinen, se voi olla irrationaalinen.

Ajateltaessa rationaalilukuja ja reaalilukuja metrisinä avaruuksina, supreemum aksioomasta seuraa, että reaaliluvut euklidisellä metriikalla on täydellinen metrinen avaruus, kun taas rationaaliluvut euklidisella metriikalla ei ole.

Metrisen avaruuden täydellisyys tarkoittaa, että avaruuden jokainen Cauchy-jono suppenee. Avaruuden täydellisyys on siis lupaus Cauchy-jonojen raja-arvojen olemassaolosta. Toinen tälläinen olemassaolon takaava ominaisuus on kompaktius, johon tutustumme seuraavassa luvussa.

Materiaali: Luku 12.
Aihe: Cauchy-jonot, täydellisyys ja tasainen jatkuvuus.

Viikko 2 Raja-arvo ja suppeneminen

Kuvausten ja jonojen raja-arvot ovat analyysin perustyökaluja. Samoin on asianlaita topologiassa. Jonojen kohdalla määritelmät ja tulokset ovat hyvin lähellä analyysin kurseilta tuttuja asioita. Ainoa varsinainen ero on, että tarkastelua ei tarvitse rajoittaa reaalilukujonoihin vaan voidaan tarkastella jonoja yleisissä metrisissä avaruuksissa. Tällöin tietysti jonon suppeneminen tulee määritellä sopivalla tavalla esimerkiksi ympäristöjen avulla (kuten tulemmekin tekemään).

Kuvausten kohdalla raja-arvon käsittely on hieman monimutkaisempaa kuin mihin analyysissä on totuttu. Syy tähän on siinä, että määrittelemme hieman yleisemmin kuvauksen raja-arvon pisteessä pitkin osajoukkoa. Tätä yleisempää määritelmää puoltaa se, että se kattaa mm. toispuoleiset raja-arvot.

Huom: Kurssin laskuharjoitukset uudistuvat niin, että laskuharjoitusryhmissä jotkin tehtävistä käsitellään vertaisarvioinnilla. Tämän viikon ryhmissä (eli harjoitusten 1 tehtävistä) näin käsitellään ainakin tehtävä 2. Valmistadu siis kirjoittamalla tehtävän 2 ratkaisu niin, että voit antaa sen vertaisarvioitavaksi.

Materiaali: Luku 11
Aihe: Jonojen suppeneminen ja tasainen suppeneminen sekä kuvausten raja-arvo.

Viikko 1: Tuloavaruudet

Kahden metrisen avaruuden tuloavaruudesta voidaan myös tehdä metrinen avaruus muodostamalla uusi metriikka kahdesta vanhasta. Tälläinen uusi metriikka ei kuitenkaan ole milläänlailla yksikäsitteinen, joten pitää tutkia, mitä merkitystä metriikan muodostamisessa tehtävillä valinnoilla oikeasti on. Tämä johtaa meidät ekvivalenttien metriikoiden (ja normien) käsitteiseen. Ajatus on, että monet tuloavaruuden metriikat, jotka luodaan aikaisemmista metriikoista, ovat sellaisia, että niillä on samat avoimet joukot. Tämä voidaan myös muotoilla sanomalla, että tässä tapauksessa tuloavaruuden identtinen kuvaus on homeomorfismi. Paljastuukin, että tuloavaruuden metriikan valinta antaakin luonnollisen kontekstin monelle ilmiölle.

Materiaali: Luku 10 (+luku 9)
Aihe: tuloavaruus, metriikoiden ekvivalenssi, homeomorfismi.

Viikko 0: Alustava ohjelma

Topologia Ib alkaa siitä mihin Ia loppui, eli siirrymme homeomorfismien myötä tutkimaan metristen avaruuksien ominaisuuksia. Kuten Topo Ia:n viimeisellä luennolla oli puhetta, kurssin alkuosan tavoitteena oli tutustua kaikille metrisille avaruuksille yhteisiin käsitteisiin. Kurssin toisen puoliskon tavoitteena on tutkia, miten metrisiä avaruuksia eroavat toisistaan. Esiteltävien käsitteiden avulla voidaan yleistää monia tuttuja analyysin lauseita (esimerkiksi, että jatkuva funktio saa suljetulla ja rajoitetulla välillä suurimman ja pienimmän arvon) metrisiin avaruuksiin.

Kurssin loppuosan rakenne poikkeaa hieman alkuosan asia per viikko formaatista. Kahteen viimeiseen aiheeseen kompaktiuteen ja yhtenäisyyteen varataan kahden viikon sijaan kolme. Lisäksi kurssi aloitetaan suoraan metriikoiden ekvivalenssia käsittelevästä luvusta homeomorfismeja käsittelevän luvun sijaan.

Kurssin (alustava) ohjelma:

Viikko 44: Luku 10 (+luku 9)
Viikko 45: Luku 11
Viikko 46: Luku 12
Viikko 47: Luku 13
Viikko 48: Luku 13+14
Viikko 49: Luku 14
Viikko 50: Luku 15 (+luku 9)