AnalysI_kursdagbok

Last modified by hojtylli@helsinki_fi on 2024/03/27 10:43

Kursdagbok

Tillbaka till kurssidan

Denna sida innehåller information om det material som behandlats på föreläsningarna (sidan uppdateras efter föreläsningarna). Hänvisningar o.d. är till kompendiets numrering, där (HKK) avser boken Harjulehto, Klen & Koskenoja och (HS) avser det tidigare kompendiet Hurri-Syrjänen: Analys I (länkat till hemsidan). En mapp innehållande föreläsningarna till Analys I från hösten 2006 finns till påseende i rum C326 (innehållet år 2014 följer delvis annan ordning och med andra exempel).

tis 2.9. Praktisk information. Motiverande exempel: vad är matematisk analys? (Kapitel 1.) Rationella tal och deras egenskaper. Kvadratroten av 2 är inte ett rationellt tal (dvs. irrationella tal existerar).

ons 3.9. Axiomen (= basegenskaperna) för de reella talen. De vanligaste räknereglerna för reella tal: att räkna med olikheter o.d..  Några alternativa tolkningar av de reella talen.

tor 4.9. Absolutbeloppet och dess egenskaper. Olikheter med absolutbelopp. Triangelolikheterna: formulering, geometrisk tolkning och bevis (Obs: detta är kapitel 2.1 i (HKK)). Exempel på tillämpningar av triangelolikheterna.

tis 9.9. Vidare exempel med triangelolikheterna (uppskattning nedåt). Induktionsprincipen (bevismetod). Exempel hur induktionsprincipen används. Vidare exempel med olikheter. Övre gräns till en mängd.

ons 10.9. Undre gränser till en mängd, begränsade och obegränsade mängder.  Största och minsta tal i en given mängd. Exempel.  Definitionen av supremum (= minsta övre gräns) och infimum (= största undre gräns) till given mängd.  Exempel.

tor 11.9. Teori: epsilon-kriteriet för supremum och exempel där kriteriet tillämpas. epsilon-kriteriet för infimum med exempel (se också  sidorna 11-12 i (HS)). Fullständighetsaxiomet för de reella talen. Argument att kvadratroten av 2 existerar som ett reellt tal på basen av axiomen.

tis 16.9. (sidorna 13-14 i (HS)) Fråga: hur ligger rationella talen på tallinjen? Arkhimedes sats med tillämpningar: mellan varje par av reella tal finns både rationella och irrationella tal. (Kapitel 2.2 i (HKK)) Talföljder: vad är en talföljd? epsilon-definitionen av gränsvärdet till en talföljd. Första exempel på konvergerande talföljder.

ons 17.9. Ingen föreläsning kl 14-16 (Spektrums program)

tor 18.9. Vidare exempel. Vad betyder att en talföljd divergerar? Entydigheten av gränsvärdet. Egenskaper hos konvergerande talföljder: Sats 2.4.1 i (HKK) samt att konvergerande talföljder är begränsade. Exempel på divergerande talföljder.

tis 23.9. Principen om olikheters bevarande för gränsvärden. Instängningsprincipen (HS, 4.11) med exempel. Algebraiska räkneregler (Sats 2.2.8 i (HKK)) för gränsvärden: summa-, produkt- och kvotregeln, samt exempel hur räknereglerna används. Bevis av summa- och produktregeln.

ons 24.9. Bevis av kvotregeln för gränsvärden. Vidare exempel. Monotona talföljder (växande eller avtagande följder). Karakterisering av konvergensen av växande talföljder och avtagande talföljder (Sats 2.3.2 i (HKK)). Exempel: rekursivt definierade talföljder.

tor 25.9. Exempel: rekursiv approximering av roten av 3.  Sats 4.10 i (HS) och definitionen av Nepers tal e. Delföljder av en given talföljd.

tis 30.9. Delföljdssatsen (= Bolzano-Weierstrass): varje begränsad talföljd har en konvergerande delföljd. Hjälpsats: varje talföljd har en monoton delföljd. Cauchys allmänna konvergenskriterium (Sats 2.4.4 i (HKK)). Oegentliga gränsvärden: talföljder som växer eller avtar obegränsat (dvs. divergens mot +/- oändligheten), samt exempel.

ons 1.10. Vidare exempel på oegentliga gränsvärden. (Kapitel 3.) Allmänt om avbildningar (= funktioner). Polynom och rationella funktioner. Trigonometriska funktioner: basegenskaper för sinus och cosinus, samt geometrisk tolkning (kap. 1.6 i (HKK) och sid 86 i (HS)). Motiverande exempel om gränsvärdet för en funktion: hur definiera gränsvärdet exakt?

tor 2.10. Exakta (epsilon,delta) definitionen av gränsvärdet för en funktion i en given punkt. Olika exempel på gränsvärde för funktioner. Specialfall av gränsvärdet: derivatan. Ett nödvändigt villkor för existensen av gränsvärdet (Sats 3.1.6 i (HKK)). Exempel där gränsvärdet saknas.

tis 7.10. Vidare exempel där gränsvärdet saknas. Gränsvärdet är entydigt (ifall det existerar). Sats 3.1.9 (HKK): om funktionen har ett gränsvärde i en punkt så är funktionen lokalt begränsad nära punkten. Algebraiska räkneregler (Sats 3.1.11) för funktioners gränsvärden. Exempel samt bevis av av summaregeln.

ons 8.10. Motivering av produkt- och kvotregeln, samt vidare exempel där räknereglerna tillämpas. Generaliseringar av gränsvärdesbegreppet: höger- och vänstergränsvärden, samt exempel. Gränsvärdet i plus oändligheten och exempel.

tor 9.10. Gränsvärdet i minus oändligheten och vidare exempel. Räkneregler och exempel på gränsvärdet i oändligheten och minus oändligheten. Oegentliga gränsvärden av funktioner: olika begrepp och exempel.

OBS: vecka 42 (13.10-17.10) endast kursprovsgenomgång tor 16.10 kl 10-12.

II. perioden

tis 28.10. Monotona funktioner (dvs. växande eller avtagande funktioner) samt exempel. Existensen av gränsvärdet av monotona funktioner (Satserna 3.3.3 och 3.3.4 i (HKK)). Exempel. Föreläsningsanteckningar 28.10.2014 (skan)

ons 29.10. (Kapitel 4.) Definitionen av funktioners kontinuitet. Exempel på kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner. Konstruktion av nya kontinuerliga funktioner från givna: algebraiska räkneregler som bevarar kontinuitet av funktioner.

tor 30.10. Exempel: polynom och rationella funktioner är kontinuerliga. Kontinuiteten av sammansatta funktioner och exempel. Fundamentala egenskaper hos kontinuerliga funktioner: Bolzanos sats (version 1, dvs Sats 4.2.1 i (HKK)).

tis 4.11. Beviset av Bolzanos sats version 1 och Bolzanos sats version 2 (satsen om mellanliggande värden, dvs. Kor. 4.2.2 i (HKK)). Exempel på tillämpningar:  fixpunkter för vissa kontinuerliga funktioner. Största och minsta värdet för en funktion i en given mängd.

ons 5.11. (Weierstrass) minmax-sats: varje kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall har ett största och ett minsta värde (Sats 4.3.3 i (HKK)). Bevis av minmax-satsen. Bevis av hjälpsatsen 4.1.7 i (HKK). Exempel på begränsningar i minmax-satsen och tillämpningar av satsen.

tor 6.11. Kontinuiteten av trigonometriska funktionerna sinus och cosinus i R. Allmänt om avbildningar: injektioner, surjektioner, bijektioner. Inversa avbildningen till en bijektion. Exempel.

tis 11.11. Satsen om kontinuitet av inversa funktionen: om f är strängt monoton och kontinuerlig på ett intervall, så är bildmängden ett intervall och inversen till f är kontinuerlig (Sats 4.2.4 i (HKK), Sats 6.9 i (HS)). Motiverande exempel: n:te roten av x. Bevis av ovanstående sats. Vidare exempel på kontinuitet av inversa funktioner.

ons 12.11.  (Kapitel 5) Derivatan av en given funktion i en punkt: definitionen och geometrisk tolkning. Exempel. Karakterisering av derivatan som linjär approximering (Sats 7.1 i (HS) eller 5.2.9 i (HKK)). Deriverbara funktioner är kontinuerliga (i punkter där derivatan existerar).

tor 13.11. Deriveringsregler: derivatan av summa- och produktfunktioner, samt exempel. Derivatan av kvotfunktionen samt exempel. Kedjeregeln: derivatan av en sammansatt funktion med exempel.

tis 18.11. Flera exempel på kedjeregeln. Härledning av deriveringsregler för sinus och cosinus. Derivatan av en invers funktion: formulering och minnesregel (5.2.13 i (HKK)). Bevis av deriveringsformeln för inversa funktioner samt exempel.

ons 19.11. Andra typer av derivator: höger- och vänsterderivata, högre derivator. (Tillämpningar av derivatan) Derivatans tecken och lokala egenskaper hos funktionen (5.3.1 i (HKK)). Om funktion är deriverbar i punkt där maximum eller minimum antas, så måste derivatan vara noll i denna punkt. Rolles sats (formulerad) och tillämpning.

tor 20.11. Bevis av Rolles sats. Medelvärdessatsen (MVS). Tillämpningar: integralkalkylens fundamentalsats, bevis av olikheter med hjälp av MVS samt medelvärdesolikheterna (MVOL).

tis 25.11. Feluppskattning med hjälp av MVOL. Monotonicitetskriterier med hjälp av derivatan. Version för strängt monotona funktioner. Exempel. Lokala extremvärdespunkter och lokala extremvärden (definition).

ons 26.11. Derivatatestet  för lokala extremvärden (jfr. 5.5.1 i (HKK),  8.8 och 8.9 i (HS)), samt exempel. Test med andra derivatan för lokala extremvärden (Sats 8.10 i (HKK)) samt exempel. Sammanfattning: vad bör undersökas när man söker maximum eller minimum för en given funktion i ett intervall.

tor 27.11. . Exempel där minimum eller maximum bestäms. Konvexa och konkava funktioner: definition och karakterisering med hjälp av andra derivatan (8.13 i (HS) utan bevis). Inflexionspunkter. Exempel på konvexa eller konkava funktioner. (Kapitel 6.) Hur definiera exponentfunktionen e^x? Steg 1: egenskaper av e^r för rationella tal r.

tis 2.12. Fortsättning på Steg 1 ovan. Steg 2: definitionen av e^x för reella tal x. Egenskaper: additionsformeln för e^x. Exponentfunktionen e^x är strängt växande, kontinuerlig och deriverbar i R. Derivatan D(e^x) = e^x för varje x.

ons 3.12. Exponentialfunktionen växer snabbare än varje polynom. Logaritmfunktionen och dess basegenskaper. Logaritmen växer långsammare än varje rotfunktion av x. Generaliserade exponent- och potensfunktioner. Tillämpningar: (1 + a/x)^x konvergerar mot e^a då x går mot oändligheten och gränsvärdet av talföljden n:te roten av n.

tor 4.12. Hyperboliska funktioner och deras inversa funktioner (areafunktionerna). Mera om trigonometriska funktionerna:  periodiciteten av sinus och cosinus. Tangentfunktionen. Arkusfunktionerna (inversa funktioner till de trigonometriska funktionerna) och deras derivator. Bonus: L'Hospitals regel (enkla versionen) och exempel.