Luentopäiväkirja (kurssille Opettajalinjan työpaja: Topologia I)

Ensimmäinen luentoviikko (viikko 36)

• • ==

Tiistai 3.9.2013

• Kävimme läpi kurssiin liittyviä käytännön asioita, joita on listattu kurssin kotisivulla. Kurssin sisällöstä puhutaan tarkemmin perjantaina tai maanantaina.
• Kertasimme joukko-opin peruskäsitteitä.
• Kävimme läpi sisätulo- ja normiavaruuden määritelmät.
• Käsittelimme Schwarzin epäyhtälöä, mutta sivuutimme sen todistuksen (ainakin toistaiseksi).
• Todistimme Lauseen 1.6.

Perjantai 6.9.2013

• Tarkastelimme euklidista normia ja perustelimme, miksi se on luonnollinen normi euklidisessa avaruudessa.
• Kävimme läpi infimumia ja supremumia käsittelevän lisämateriaalin.
• Kävimme läpi kirjan Esimerkin 1.7 kohdan 1, joka esitteli ns. sup-normin.

Maanantai 9.9.2013

• Kävimme läpi sup-normiin liittyviä yksityiskohtia.
• Määrittelimme metriikan ja metrisen avaruuden, ja perustelimme, miksi metriikan ehdot ovat luonnolliset.
• Todistimme kirjan Lauseen 2.2, jonka nojalla jokainen normiavaruus on luonnollisella tavalla metrinen avaruus.
• Kävimme läpi esimerkeissä euklidisen metriikan, {0,1}-metriikan ja sup-normin antaman metriikan.
• Määrittelimme avoimen kuulan, suljetun kuulan ja pallo(kuore)n.
• Tutkimme, millaisia kuulat ja pallot ovat tasossa \R^2 euklidisen metriikan ja {0,1}-metriikan suhteen.

Tiistai 10.9.2013

• Kertasimme metriikan ja kuulien ja pallojen määritelmät.
• Osoitimme, että reaalilukujen euklidisessa metriikassa avoimet kuulat ovat avoimia välejä ja suljetut kuulat ovat suljettuja välejä.
• Määrittelimme käsitteet joukkojen välinen etäisyys, pisteen etäisyys joukosta ja joukon läpimitta, ja todistimme kirjan Lauseen 2.10.
• Kävimme läpi esimerkit joukkojen välisten etäisyyden ja joukon läpimitan määrittämisestä lisämateriaalissa.

Perjantai 13.9.2013

• Määrittelimme rajoitetun joukon ja todistimme kirjan lauseet 2.12, 2.14 ja 2.15.
• Määrittelimme avoimen joukon ja todistimme kirjan lauseen 3.2.
• Kävimme läpi esimerkkejä avoimista ja ei-avoimista joukoista.

Maanantai 16.9.2013

• Kävimme läpi joukkojen avoimuutta käsittelevää lisämateriaalia. Ehdimme Esimerkin 8 kohtaan b) asti.

Tiistai 17.9.2013

• Kävimme läpi lisämateriaalin viimeisen esimerkin loppuun.
• Kertasimme ja täydensimme tietämystä yhdisteestä ja leikkauksesta kirjan kohdan 0.3 mukaisesti.
• Käsittelimme kirjan lauseet 3.4, 3.5 ja 3.7.
• Määrittelimme ympäristön ja käsittelimme kirjan lauseet 3.9, 3.10 ja 3.11.

Perjantai 20.9.2013

• Määrittelimme erakkopisteen ja diskreetin joukon, ja kävimme läpi näihin liittyviä esimerkkejä.
• Kertasimme kuvan ja alkukuvan käsitteet ja muistelimme, miten jatkuvuus määriteltiin kurssilla Analyysi I.
• Määrittelimme jatkuvan kuvauksen ja kävimme läpi tähän liittyviä esimerkkejä.
• Määrittelimme Lipschitz-kuvauksen ja todistimme, että jokainen Lipschitz-kuvaus on jatkuva.

Maanantai 23.9.2013

• Kävimme läpi kurssin kannalta tärkeät lauseet 4.7 ja 4.8, ja kävimme läpi esimerkin Lauseen 4.8 soveltamisesta.
• Määrittelimme joukon r-ympäristön ja kävimme läpi lauseet 4.11, 3.12 ja 4.13.

Tiistai 24.9.2013

• Kävimme läpi kirjan tehtävät 4:3 ja todistimme, että jos lähtöavaruudessa on käytössä {0,1}-metriikka, niin jokainen funktio on jatkuva.
• Määrittelimme kuvauksien summan ja tulon (Määritelmä 5.1) ja todistimme lauseet 5.2 ja 5.3.
• Todistimme Schwarzin epäyhtälön (Lause 1.4).
• Määrittelimme projektiokuvauksen.

Maanantai 30.9.2013

• Kertasimme projektiokuvauksen määritelmän ja osoitimme, että projektiot ovat 1-Lipschitz-kuvauksia.
• Kävimme läpi kaksi esimerkkiä projektiokuvausten hyödyntämisestä jatkuvuusosoituksissa.
• Määrittelimme komponenttikuvaukset ja todistimme Lauseen 5.9.
• Määrittelimme suljetun joukon ja huomasimme esimerkkien kautta, että termit suljettu ja avoin eivät ole toistensa vastakohtia tai toisensa poissulkevia.
• Todistimme Lauseen 6.3.

Tiistai 1.10.2013

• Kertasimme avoimen joukon ja suljetun joukon käsitteet esimerkkien kautta ja käsittelimme Lauseen 6.4.
• Määrittelimme sulkeuman, kävimme läpi aiheeseen liittyviä esimerkkejä ja todistimme Lauseet 6.6 ja 6.8.
• Määrittelimme kasautumispisteen ja pohdimme, miksi sen erilaiset määritelmät ovat yhtäpitävät.

Perjantai 4.10.2013

• Kertasimme sulkeuman ja kasautumispisteen määritelmät ja todistimme Lauseet 6.21 ja 6.22.
• Todistimme Lauseet 6.10, 6.11 ja 6.12.

Maanantai 7.10.2013

• Todistimme Lauseet 6.13, 6.15 ja 6.17.
• Määrittelimme kuvauksen rajoittuman ja huomasimme, että jokainen metrisen avaruuden osajoukko on luonnollisella tavalla myös metrinen avaruus.

Tiistai 8.10.2013

• Määrittelimme, mitä tarkoittaa, että joukko on avoin tai suljettu jossakin avaruuden X osajoukossa.
• Määrittelimme, mitä tarkoittaa joukon sulkeuma jossakin avaruuden X osajoukossa.
• Todistimme Lauseet 7.2, 7.4, 7.6 ja 7.7.

Perjantai 11.10.2013

• Todistimme Lauseet 7.9, 7.11, 7.13 ja 6.18.
• Kertasimme kokeeseen katsomalla, mitkä lauseet ja määritelmät ovat olleet tärkeitä kurssin ensimmäisessä periodissa.

Tässä välissä oli koeviikko ja väliviikko.

Maanantai 28.10.2013

• Kävimme läpi ensimmäisen kurssikokeen ratkaisut ja arvosteluperusteet.
• Määrittelimme jonon ja jonon suppenemisen.
• Kävimme läpi Lauseen 11.3.

Tiistai 29.10.2013

• Muistelimme, miten jonon suppeneminen määritellään kurssilla Analyysi I, ja pohdimme, suppenevatko ns. Cauchy-jonot aina.
• Todistimme Lauseet 11.4, 11.6 ja 11.8.
• Kävimme läpi Seurauksen 11.7 ja esittelimme Lauseen 11.11, mutta emme todistaneet sitä.
• Määrittelimme jonon kasautumisarvon.

Torstai 31.10.2013

• Jaoimme esitelmien aiheita ja katsoimme, mitä kaikkea esitelmässä olisi hyvä mainita.

Perjantai 1.11.2013

• Määrittelimme jonon osajonon ja käsittelimme asiasta esimerkkejä.
• Todistimme Lauseet 11.17 ja 11.18 ja käsittelimme Seurauksen 11.19.
• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Sisä-, ulko- ja reunapiste.
  • Esitelmä käsitti kirjan kohdat 8.1 Määritelmiä ja 8.2 Esimerkkejä sekä Lauseen 8.3.
    
    

Maanantai 4.11.2013

• Käsittelimme ylimääräisiä esimerkkejä irrationaalilukujen approksimoinnista rationaaliluvuilla ja jatkuvien kuvausten approksimoinnista polynomeilla.
• Määrittelimme, mitä tarkoittaa funktiojonon pisteittäinen ja tasainen suppeneminen.
• Todistimme Lauseet 11.21 ja 11.24 ja käsittelimme aiheeseen liittyviä kirjan esimerkkejä.
• Määrittelimme funktion raja-arvon pitkin joukkoa.

Tiistai 5.11.2013

• Kävimme läpi esimerkkejä funktioiden raja-arvoista pitkin eri joukkoja.
• Todistimme Lauseet 11.28, 11.29 ja 11.30.
• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Topologinen avaruus.
  • Esitelmä käsitti topologisen avaruuden määritelmän, esimerkkejä ja pohdintaa metristen avaruuksien ja topologisten avaruuksien yhteydestä.

Perjantai 8.11.2013

• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Homeomorfismi.
  • Esitelmä käsitti homeomorfismin määritelmän, esimerkkejä, Lauseen 9.3 ja kirjan kohdan 9.16 Esimerkkejä.
• Todistimme Lauseen 9.13.
• Määrittelimme upotuksen ja bilipschitz-kuvauksen ja muotoilimme Lauseen 9.19.
• Keskustelimme joidenkin abstraktien topologisten avaruuksien (kuten Möbiuksen nauhan ja Kleinin pullon) konstruktioista ja ominaisuuksista.

Maanantai 11.11.2013

• Kertasimme ja tarkensimme tietämystämme homeomorfismeista ja bilipschitz-kuvauksista.
• Määrittelimme isometrian ja puhuimme hieman isometrisestä upottamisesta.
• Määrittelimme, mitä tarkoittaa, että metriikat ovat topologisesti ekvivalentit ja bilipschitz-ekvivalentit, ja käsittelimme aiheisiin liittyvää esimerkkiä.

Tiistai 12.11.2013

• Kertasimme bilipschitz-ekvivalenttiuden määritelmän ja osoitimme, että bilipschitz-ekvivalenssi on vahvempi ehto kuin topologinen ekvivalenssi.
• Kävimme läpi Lauseet 10.4 ja 10.6, Seurauksen 10.7 ja käsittelimme esimerkkejä kirjan kohdasta 10.5.
• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Täydellisyys.
  • Esitelmä käsitti Määritelmät 12.1 ja 12.4, Lauseet 12.3, 12.5 ja 12.6 sekä joitakin esimerkkejä.

Perjantai 15.11.2013

• Kertasimme täydellisyyden käsitteen ja kävimme läpi useita esimerkkejä Cauchy-jonoista ja Cauchy-ehdon tutkimisesta eri jonojen kohdalla.
• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Banachin kiintopistelause.
  • Esitelmä käsitti Määritelmän 12.7, Lauseen 12.8, Sovelluksen 12.9 ja esimerkkejä.

Maanantai 18.11.2013

• Kertasimme kontraktion ja kiintopisteen määritelmät ja Banachin kiintopistelauseen.
• Käsittelimme joitakin Banachin kiintopistelauseen sovelluksia (yhtälön juurien approksimointi, differentiaaliyhtälöt, integraaliyhtälöt ja fraktaalit).
• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Tasainen jatkuvuus.
  • Esitelmä käsitti jatkuvuuden ja tasaisen jatkuvuuden vertailua, Määritelmän 12.11, Lauseen 12.12, osan kohdasta 12.13 Esimerkkejä,
    Lauseen 12.14 muotoilun ja pari ylimääräistä esimerkkiä.

Tiistai 19.11.2013

• Kertasimme jatkuvuuden ja tasaisen jatkuvuuden käsitteet.
• Käsittelimme jatkuvuuteen ja tasaiseen jatkuvuuteen liittyviä esimerkkejä.
• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Kompaktius.
  • Esitelmä käsitti Määritelmän 13.1., Esimerkit 13.2 ja Lauseen 13.6. todistuksineen
• Todistimme Lemman 13.3 ja kertasimme joitakin kurssilta Analyysi I tuttuja tuloksia.

Perjantai 22.11.2013

• Kertasimme kompaktiuden määritelmän ja palautimme mieleen joitakin kurssilta Analyysi I tuttuja tuloksia.
• Muotoilimme Lauseen 13.14 ja kävimme läpi esimerkkejä rajoitetuista ja rajoittamattomista jonoista.
• Todistimme Lemman 13.4, Lauseet 13.7, 13.8, 13.11 ja 13.13.
• Todistimme osan Lauseesta 13.14.

Maanantai 25.11.2013

• Kävimme läpi esimerkin, joka helpotti hahmottamaan Lauseen 13.14 todistuksen ideaa.
• Todistimme Lauseen 13.14 loppuun.
• Sovelsimme Lausetta 13.14 joihinkin esimerkkeihin.
• Todistimme Lauseet 13.17 ja 13.18 ja kävimme läpi Seurauksen 13.19 ja Huomautuksen 13.20.
• Todistimme Lauseen 13.21 ja sovelsimme sitä kirjan tehtävään 13:7.

Tiistai 26.11.2013

• Kävimme läpi esimerkkejä kompaktiuden soveltamisesta.
• Todistimme Lauseet 13.22, 13.23 ja 13.28, Lause 13.25 ja Seuraus 13.26 jäivät itseopiskeltaviksi.
• Pohdimme, onko olemassa metrisen avaruuden osajoukkoa, joka on suljettu, rajoitettu ja täydellinen muttei kompakti.
• Kuuntelimme esitelmän aiheesta Yhtenäisyys.
  • Esitelmä käsitti Määritelmät 14.2, 14.21 ja 14.26, esimerkkejä ja Lauseen 14.27 muotoilun.

Perjantai 29.11.2013

• Kävimme läpi kertauksen vuoksi Määritelmän 14.2.
• Pohdimme, onko jatkuvalla kuvauksella kompaktissa joukossa nollakohta, jos kuvaus saa siinä joissakin pisteissä erimerkkiset arvot.
• Kävimme läpi Määritelmän 14.4 ja todistimme Lauseet 14.6, 14.7 ja 14.12.

Maanantai 2.12.2013

• Todistimme Lauseet 14.15 ja 14.16 ja kävimme läpi Seurauksen 14.17 ja Sovelluksen 14.18.
• Todistimme Lauseen 14.19 ja kävimme läpi Seurauksen 14.20.
• Määrittelimme polkuyhtenäisen avaruuden ja kävimme esimerkin polkuyhtenäisestä avaruudesta.
• Todistimme Lauseet 14.22 ja 14.23.
• Kävimme läpi Määritelmän 14.26 ja Lauseen 14.27.
• Kävimme läpi koealueen ja pohdimme, mitä teemme seuraavalla luennolla.

takaisin kurssin kotisivulle