| | Lähestyy oppimistavoitetta | Saavuttaa oppimistavoitteet | Syventää oppimistavoitteita |
|---|
| Perusopintojen tasoinen joukko-opin hallinta.
| - Osaa antaa määritelmän käsitteille
- Metriikka
- Normi
- Jonon suppeneminen
- kuvauksen raja-arvo
| - Osaa todistaa annettuja kuvauksia useissa eri tilanteissa metriikoiksi.
- Osaa tutkia erilaisten normien määrittämiä metriikoita
| - Ymmärtää metrisen ja topologisen ominaisuuden eron.
- Osaa määritellä itse metriikoita.
|
Joukkojen perusominaisuuksia
| | - Osaa antaa avoimen joukon määritelmän.
- Osaa antaa suljetun joukon määritelmän.
- Osaa määritellä sulkeuman.
| - Osaa näyttää useissa eri tilanteissa, onko annettu joukko avoin tai suljettu.
- Ymmärtää ympäristön määritelmän.
- Osaa muodostaa annetun joukon sulkeuman ja määritellä suljetun joukon sulkeuman avulla.
- Osaa määritellä käsitteet 'avoin joukko' ja 'suljettu joukko' reunapisteiden käsitteen avulla.
- Hallitsee sulkeuman perusominaisuudet ja osaa määritellä sulkeuman jonojen avulla.
| - Osaa määritellä avaruuden topologian.
- Osaa todistaa yksinkertaisia topologisia väitteitä topologisilla työkaluilla.
- Ymmärtää mitä eroa on joukolla ja ovella.
|
| | - Osaa määritellä metrisissä avaruuksissa
- Jatkuvan kuvauksen
- Lipschitz-kuvauksen
- Homeomorfismin
| - Osaa antaa kuvauksen jatkuvuudelle usean eri määritelmän ja osaa todistaa ne yhtäpitäviksi.
- Tuntee jatkuvan kuvauksen perusominaisuudet ja osaa soveltaa niitä annetuissa tilanteissa.
- Osaa määritellä Lipschitz-kuvauksen, todistaa sen jatkuvaksi, sekä osaa käyttää sen joitain perusominaisuuksia.
- Osaa muodostaa paljon jatkuvia kuvauksia normiavaruuksien välille.
- Osaa määritellä tasaisesti jatkuvan kuvauksen.
- Tuntee homeomorfismin perusominaisuudet ja osaa näyttää, että se säilyttää avaruuden topologisia ominaisuuksia.
- Osaa määritellä bilipschitz-kuvauksen ja näyttää, että se on upotus.
| - Osaa määritellä jatkuvan kuvauksen topologisten avaruuksien välillä.
- Osaa näyttää, että homeomorfismi säilyttää kaikki topologiset ominaisuudet.
- Ymmärtää missä mielessä
- Homeomorfiset topologiset avaruudet ovat samat.
- Metriset avaruudet, joiden välillä on isometria, ovat samat.
- Metriset avaruudet, joiden välillä on bilipschitz-kuvaus ovat 'melkein samat'.
- Ymmärtää jatkuvuuden, tasaisen jatkuvuuden ja Lipschitz-jatkuvuuden eron.
|
Avaruuksien ominaisuuksia
| Metriikka, avoin joukko, sulkeuma, jonon raja-arvo, jatkuva kuvaus
| - Osaa määritellä käsitteet
- Kompakti avaruus
- Täydellinen avaruus
- Yhtenäinen avaruus
| - Tuntee kompaktin avaruuden perusominaisuudet ja yhteyden jatkuviin reaaliarvoisiin kuvauksiin.
- Osaa antaa esimerkkejä täydellisistä ja ei-täydellisistä metrisistä avaruuksista.
| - Osaa määritellä kompaktiuden ja yhtenäisyyden topologisesti, eli pelkästään ympäristöihin ja avoimiin joukkoihin nojaten.
- Osaa käyttää Banachin kiintopistelausetta.
- Ymmärtää, miksei täydellisyyttä voida määritellä topologisesti.
|
Uusien avaruuksien muodostaminen
| | - Osaa määritellä kahden metrisen avaruuden tuloavaruuden ja tulometriikan.
- Osaa määritellä metriikan rajoittuman.
| - Osaa todistaa ovatko annetut kaksi metriikkaa ekvivalentit.
- Osaa kertoa relatiivitopologian pääidean.
- Osaa näyttää milloin annettu joukko on avoin tai suljettu annetussa relatiivitopologiassa.
| - Ymmärtää, mitkä metriset ja topologiset avaruudet 'periytyvät' osajoukoille tai tuloavaruuksiin.
|
