Kirjasta käydyt asiat

Kappale 0, "Lähtö"

• Ei oikeastaan mitään. Puhuttiin ekoilla tunneilla motivaatiosta topologian opiskeluun, luvun alussa on joitain samoja pointteja.

Kappale 1, "Sisätuloavaruus ja normiavaruus"

• Määritelmästä 1.1. vektoriavaruuden määritelmä.

• 1.2. Sisätulon määritelmä, sekä sitä seuraava sisätulon määräämän normin määritelmä.

• Esimerkeistä 1.3. kohdasta 1 totesimme, että Euklidisen avaruuden pistetulo on sisätulo.

• 1.4. Schwarzin epäyhtälö.

• Lausee 1.5. (Tästä seuraa erityisesti, että Euklidinen normi toteuttaa normin ehdot.)

• Normiavaruuden määritelmä 1.6.

• Esimerkeistä 1.7. Kohta 4.

Kappale 2, ``Metrinen avaruus''

• Metriikan sekä metrisen avaruuden määritelmä 2.1.

• Lause 2.2., ``normin indusoima metriikka''.

• Esimerkkien 2.3. kohdat 1 ja 2.

• Osajoukon metriikan määritelmä 2.4.

• Tiivistelmän 2.5. kaksi ensimmäistä lausetta.

• Kuulien yms. määritelmä 2.6.

• Esimerkkien 2.7. kohdat 3 - 5.

• Joukkojen välisen etäisyyden määritelmä 2.9.

• Joukon läpimitan(halkaisijan) etäisyyden määritelmä 2.11

• Lauseen 2.12.ne kohdat, joissa ei mainita normia.

• Rajoitettujenjoukkojen määritelmä 2.13., poislukien
   rajoitettujen kuvaustenmääritelmä.

• Lause2.14.

Kappale 3, "Avoimet joukot ja ympäristöt".

• Avoimen joukon määritelmä 3.1.

• Lause 3.2.; avoin kuula on avoin joukko.

• Lause X.X. ; kahden avoimen joukon yhdiste ja leikkaus ovat avoimia.

• Topologian määritelmä X.X.

Kappale 4, ``Jatkuva kuvaus''

• Jatkuvuuden määritelmä 4.1.

• Esimerkeistä 4.2. kohdat 1 ja2.

• Lipschitz-kuvauksen määritelmä 4.4.

• Lause 4.5., Lipschitz-kuvaus on jatkuva.

• Lause 4.7., jatkuvuuden karakterisointi ympäristöillä.

• Lause 4.8., jatkuvuuden karakterisointi avoimilla joukoilla.

Kappale 5, "Jatkuvat kuvaukset normiavaruuteen."

• Käytiin läpi koko luku, paitsi että Lause 5.6. todistettiin muodossa "...jos käytössä on Manhattan-, Euklidinen- tai Chebyshev-normi."

Kappale 11, ``Jonot ja raja-arvot''

• Lauseen 11.3.ehto (3) otettiin suppenemisen määritelmäksi.

• Lauseesta 11.3. on todistettu kohtien (3) ja (4) yhtäpitävyys.

• Lause11.4.

• Huomautuksien11.5. kohta 1.

• Lause11.8.

• Havaintojen 11.15. kohta 1 otettiin kasautumisarvojenmääritelmäksi.

• Lause11.18.