Fourier-analyysi, syksy 2011

Luennoitsija

Kari Astala

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Perustietoina Mitta ja integraali sekä L^p avaruuksien ominaisuudet kurssilta Reaalianalyysi I.

• Lisätietoja I. Holopaisen luentomonisteessa: Reaalianalyysi I

Lisäksi tarvitaan joitakin tietoja funktionaalianalyysistä, joita voidaan tarvittaessa käydä lyhyesti läpi.

• Lisätietoja luentomonisteessa: Funktionaalianalyysin peruskurssi

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 ma 12-14, ke 12-14 C123.

Ensimmäinen luento keskiviikkona 7. syyskuuta.

Kurssiin sisältyy laskuharjoituksia 2 viikkotuntia, jotka pidetään perjantaisin 12 -14.

Kokeet

Kaksi kurssikoetta, 1. ja 2. periodin lopussa. Ensimmäinen kurssikoe pe 21.10 klo 13-15, sali A111.
 Toinen kurssikoe 16.12. klo 13-15, sali A111.

1. kurssikokeen ratkaisut
2. kurssikokeen ratkaisut

Kurssin sisällöstä

Kurssi on Fourier analyysin peruskurssi; sitä suositellaan sekä matematiikan että sovelletun matematiikan opiskelijoille.

Kurssin ensimmäinen periodi käsittelee lähinnä Fourier sarjoja, esim. niiden L^2-teoriaa ja pisteittäistä konvergenssia sekä
 Fourier-sarjojen sovelluksia mm. aalto- ja lämpöyhtälöiden alkuarvo-ongelmiin.

Fourier sarjojen jälkeen siirrymme jatkuvaan Fourier-muunnokseen, taas aluksi L^2:ssa, ja sen jälkeen muissa L^p-avaruuksissa.
 Tämä taas johdattaa luontevasti distribuutioihin ja niiden Fourier-muunnoksiin.

Fourier-muunnosta voidaan puolestaan käyttää apuna kun tutkimme erilaisia integraali-ja differentiaalioperaattoreita
 kuten Hilbert-muunnosta, tai löytämään vakiokertoimisten differentiaalioperaattoreiden perusratkaisuja.
 Mikäli aikaa on, perehdymme myös diskreettiin Fourier muunnokseen.

Luentomuistiinpanot

Luennot 7.12. asti

Kirjallisuus

Seuraavia kirjoja voi soveltuvin osin käyttää kurssin tukena.

• Stein-Shakarchi: Fourier Analysis, An Introduction.
• Rudin: Real and Complex Analysis.

Lisätietoja Fourier analyysistä löytää esim. seuraavista kirjoista.

• Grafakos: Classical and Modern Fourier Analysis.
• Rudin: Functional Analysis.
• Duoandikoetxea: Fourier Analysis.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset

Harjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:

25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.

Laskuharjoitustehtävät

Harjoitus 1 Ratkaisut 1
Harjoitus 2 Ratkaisut 2
Harjoitus 3 Ratkaisut 3
Harjoitus 4 Ratkaisut 4
Harjoitus 5 Ratkaisut 5
Kertaustehtäviä Ratkaisut kertaus
Harjoitus 6 Ratkaisut 6
Harjoitus 7 Ratkaisut 7
Harjoitus 8 Ratkaisut 8
Harjoitus 9 Ratkaisut 9
Harjoitus 10 Ratkaisut 10