Wiki source code of KursdagbokAnalysIh11
Last modified by hojtylli@helsinki_fi on 2024/03/27 10:32
Show last authors
author | version | line-number | content |
---|---|---|---|
1 | = Kursdagbok = | ||
2 | |||
3 | [[Tillbaka till kurssidan>>doc:mathstatKurssit.Syksy 2011.Analys I, hösten 2011.WebHome]] | ||
4 | |||
5 | Denna sida innehåller information om det material som behandlats på föreläsningarna (sidan uppdateras **efter** föreläsningarna). Hänvisningar o.d. är till kompendiets numrering. En mapp innehållande föreläsningarna till Analys I från hösten 2006 finns i rum C326. | ||
6 | |||
7 | tis 6.9. Praktisk information. (Kapitel 0.) Mängder och kalkyl med mängder (repetition och påminnelse). (Kapitel 1.) Rationella tal och deras egenskaper. Kvadratroten av 2 är inte ett rationellt tal. | ||
8 | |||
9 | ons 7.9. De reella talen: några alternativa definitioner. De fundamentala egenskaperna (= axiomen) för reella tal. Några vanliga räkneregler för reella tal. | ||
10 | |||
11 | tor 8.9. Absolutbeloppet. Egenskaper och olikheter med absolutbelopp. Triangelolikheterna: formulering, geometrisk tolkning och bevis. Exempel på tillämpningar av triangelolikheterna. | ||
12 | |||
13 | tis 13.9. Uppskattning nedåt med triangelolikheterna. Induktionsprincipen med exempel. Övre och undre gränser till mängder, begränsade och obegränsade mängder. | ||
14 | |||
15 | tis 14.9. Största och minsta tal i en given mängd. Exempel. Definitionen av **supremum** (= minsta övre gräns) och **infimum** (= största undre gräns) till given mängd. Enkla exempel | ||
16 | |||
17 | tor 15.9. Teori: epsilon-kriteriet för supremum och infimum. Räknat exempel där kriteriet tillämpas att finna supremum och infimum. Fullständighetsaxiomet för reella talen. Fråga: hur visa att kvadratroten av 2 existerar (som ett reellt tal)? | ||
18 | |||
19 | tis 20.9. Argumentet att kvadratroten av 2 existerar som ett reellt tal. Arkhimedes sats med tillämpningar: mellan varje par av reella tal finns både rationella och irrationella tal. | ||
20 | |||
21 | ons 21.9. (Kapitel 2 = kapitel 4 i kompendiet) Talföljder. epsilon-definitionen av gränsvärdet till en talföljd. Första exempel på konvergens och divergens för talföljder. Nödvändiga villkor för konvergens av talföljder: Sats 4.2, samt att konvergerande talföljder är begränsade. | ||
22 | |||
23 | tor 22.9. Principen om olikheters bevarande i gränsvärden. Instängningsprincipen (Sats 4.11) med exempel. Algebraiska räkneregler (Sats 4.7) för gränsvärden: summa-, produkt- och kvotregeln. Exempel hur räknereglerna används. Bevis av summaregeln. | ||
24 | |||
25 | tis 27.9. Produkt- och kvotregeln för gränsvärden. Exempel. Monotona talföljder (växande eller avtagande följder). Karakterisering av konvergensen av monotona talföljder. Exempel: rekursivt definierade följder. | ||
26 | |||
27 | ons 28.9. Exempel: en rekursiv talföljd som approximerar roten av 3. Bernoullis olikhet (s. 7). Sats 4.10 och definitionen av Nepers tal e. Delföljder av en given talföljd. | ||
28 | |||
29 | tor 29.9. Delföljdssatsen (= Bolzano-Weierstrass): varje begränsad talföljd har en **konvergerande** delföljd. Hjälpsats: varje talföljd har en **monoton** delföljd. Cauchys konvergenskriterium (Sats 4.13). Kommentar: konstruktionen av reella talen och Cauchys konvergenskriterium. | ||
30 | |||
31 | tis 4.10. Oegentliga gränsvärden: talföljder som växer eller avtar obegränsat (dvs. divergens mot +/- oändligheten). Basexempel på oegentliga gränsvärden. (Kapitel 3.) Allmänt om avbildningar (= funktioner). Motiverande exempel om gränsvärdet för en funktion. | ||
32 | |||
33 | ons 5.10. Exakta (epsilon,delta) definitionen av gränsvärdet för en funktion i en given punkt. Olika exempel på gränsvärde för funktioner. Ett nödvändigt villkor för existensen av gränsvärdet (Sats 5.2). Exempel där gränsvärdet saknas. | ||
34 | |||
35 | tor 6.10. Vidare exempel där gränsvärdet saknas. Gränsvärdet är entydigt (ifall det existerar). Sats 5.5: om funktionen har ett gränsvärde i en punkt så är funktionen begränsad nära punkten. Algebraiska räkneregler (Sats 5.4) för funktioners gränsvärden. Bevis av summa- och produktregeln, samt motiverande exempel. | ||
36 | |||
37 | tis 11.10. Bevis av kvotregeln. Exempel där räknereglerna tillämpas. Generaliseringar av gränsvärdesbegreppet: höger- och vänstergränsvärden, samt exempel. | ||
38 | |||
39 | ons 12.10. Gränsvärdet i oändligheten och minus oändligheten. Diverse exempel. Oegentliga gränsvärden av funktioner. | ||
40 | |||
41 | tor 13.10. Vidare exempel tillsammans med räkneregler. Monotona funktioner (dvs. växande eller avtagande funktioner) samt exempel. Översikt av provområdet samt urval tidigare provuppgifter. | ||
42 | |||
43 | II. perioden | ||
44 | |||
45 | tis 1.11. Gränsvärdet för monotona funktioner (Sats 5.9). (Kapitel 4.) Definitionen av funktioners kontinuitet. Exempel på kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner. | ||
46 | |||
47 | ons 2.11. Flera exempel. Algebraiska räkneregler som bevarar kontinuitet av funktioner (nya kontinuerliga funktioner från givna). Exempel: polynom och rationella funktioner är kontinuerliga. | ||
48 | |||
49 | tor 3.11. Kontinuiteten av sammansatta funktioner och exempel. Fundamentala egenskaper hos kontinuerliga funktioner: Bolzanos sats och satsen om mellanliggande värden. | ||
50 | |||
51 | tis 8.11. Exempel: rötter av polynom och fixpunkter för en kontinuerlig funktion. Största och minsta värdet för en funktion i en given mängd. (Weierstrass) min-maxsats: varje kontinuerlig funktion på ett **slutet begränsat** intervall har ett största och ett minsta värde. Steg 1: varje kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall är begränsad. | ||
52 | |||
53 | ons 9.11. Steg 2: varje kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall antar supremum och infimum till värdemängden. Hjälpsats: kontinuerliga funktioner och konvergerande talföljder (Sats 5.3: (1) implicerar (2)). Exempel på olika tillämpningar och begränsningar av min-maxsatsen. | ||
54 | |||
55 | tor 10.11. Typer av avbildningar: injektioner, surjektioner, bijektioner. Inversa avbildningen till en bijektion. Sats 6.9: om f är en strängt växande (resp., strängt avtagande) kontinuerlig avbildning på ett intervall, så är bildmängden ett intervall och inversa avbildningen till f är **kontinuerlig** och strängt växande (resp., strängt avtagande). | ||
56 | |||
57 | tis 15.11. Tillämpningar av satsen om kontinuiteten av inversa funktioner: konstruktion av funktionen n:te roten av x. (Kapitel 5) Derivatan av en funktion i en punkt: definition, geometrisk tolkning, differentialen (Sats 7.1) | ||
58 | |||
59 | ons 16.11. Deriverbara funktioner är kontinuerliga (i de punkter där derivatan existerar). Deriveringsregler: derivatan av summa- och produktfunktioner, samt exempel. Derivatan av kvoten av två funktioner samt exempel. | ||
60 | |||
61 | tor 17.11. Kedjeregeln: derivatan av en sammansatt funktion och olika exempel. Derivatan av en invers funktion: härledning av deriveringsformeln, minnesregeln och exempel. | ||
62 | |||
63 | tis 22.11. Andra typer av derivator: högre derivator, höger- och vänsterderivata. Egenskaper och tillämpningar av derivatan: tecknet av derivatan och lokala egenskaper hos funktionen (Lemma 8.1). Om funktionen är deriverbar i punkt där maximum eller minimum antas, så måste derivatan vara noll i denna punkt (Kor. 8.2). Rolles sats med tillämpning. | ||
64 | |||
65 | ons 23.11. Medelvärdessatsen (MVS). Tillämpningar: integralkalkylens fundamentalsats och medelvärdesolikheterna. Feluppskattning med hjälp av MVS. Växande funktioner och derivatan (monotonicitetskriterier). | ||
66 | |||
67 | tor 24.11. Strängt växande (eller avtagande) funktioner och derivatan. Exempel. Lokala extremvärdespunkter (definition). Derivatatestet för lokala extremvärden (Sats 8.8 och 8.9), samt exempel. | ||
68 | |||
69 | tis 29.11. Andra derivatatestet för lokala extremvärden (Sats 8.10) samt exempel. Sammanfattning: vad bör man beakta när söker största eller minsta värdet för en given funktion i ett intervall. Exempel. Konvexitet och konkavitet av funktioner: definition. | ||
70 | |||
71 | ons 30.11. Karakterisering av konvex och konkava funktioner med hjälp av andra derivatan (Sats 8.13). Räknade exempel. L'Hospitals regel (enkla formen) och exempel. (Kapitel 6.) Hur definiera exponentfunktionen? | ||
72 | |||
73 | tor 1.12. Konstruktionen av exponentfunktionen. Egenskaper: exponentfunktionen e^x satisfierar additionsformeln, är strängt växande, kontinuerlig och deriverbar i R. Derivatan D(e^x) = e^x för varje x. | ||
74 | |||
75 | ons 7.12. Exponentialfunktionen växer snabbare än varje polynom. Logaritmfunktionen och dess egenskaper. Generaliserade exponential- och logaritmfunktioner. Tillämpning: (1 + a/n)^n konvergerar mot e^a då n går mot oändligheten. Hyperboliska funktionerna och deras inversa funktioner (areafunktionerna). | ||
76 | |||
77 | tor 8.12. Trigonometriska funktionerna: definition och basegenskaper av sinus, cosinus och tangentfunktionen (kontinuitet, derivator, periodicitet). Kort om arkusfunktionerna (inversa funktioner till de trigonometriska funktionerna) och deras derivator. Översikt av provområdet. | ||
78 | |||
79 | Här finns övningsmaterial innehållande väsentliga delar av kursen till genomgång för [[1. kursprovet>>attach:Analysproblem.pdf]] (material från år 2009) och [[2. kursprovet>>attach:AnIkursmat2.pdf]] (material från 2010). |