Laskutoimitukset

Hallitsee matriisien laskutoimitukset.

Osaa määrittää annettujen joukkojen yhdisteen, leikkauksen ja karteesisen tulon.

Osaa käsitellä kuvauksia ja tarkastella niiden ominaisuuksia kuten injektiivisyyttä, surjektiivisuutta, bijektiivisyyttä ja kääntyvyyttä.

Pystyy päättelemään, onko luku jaollinen toisella luvulla. Osaa laskea jakojäännöksiä.

Osaa tutkia annetun laskutoimituksen ominaisuuksia kuten vaihdannaisuutta, liitännäisyyttä, neutraalialkiota, alkioiden käänteisalkioita.

Pystyy laskemaan permutaatioilla ja jäännösluokilla.

Osaa tutkia, määrittääkö annettu ehto laskutoimituksen vai ei.

Ryhmät ja aliryhmät

(Tuntee vektoriavaruuden ja aliavaruuden määritelmät.)

Osaa tutkia, muodostavatko annettu joukko ja laskutoimitus ryhmän.

Osaa tutkia, onko annettu osajoukko aliryhmä vai ei.

Ymmärtää, miten aliryhmän määritelmästä seuraa, että aliryhmä on ryhmä.

Hahmotttaa, että aliryhmä ja aliavaruus ovat molemmat algebrallisen rakenteen alirakenteita.

Isomorfismi

Osaa määrittää osajoukon kuvan ja alkukuvan annetussa kuvauksessa.
(Osaa osoittaa kuvauksen lineaariseksi tai näyttää, että se ei ole lineaarinen.)

(Tuntee vektoriavaruuksien välisen isomorfismin määritelmän.)

Pystyy tutkimaan äärellisten ryhmien isomorfisuutta kertotaulujen avulla.

Osaa tutkia, onko annettu kuvaus isomorfismi.

Osaa määrittää isomorfismin kahden ryhmän välille tai näyttää, että sellaista ei ole.

Ymmärtää ryhmäisomorfismin määritelmän yhteyden siihen, että kahdella ryhmällä on samanlainen kertotaulu.

Ymmärtää ryhmäisomorfismin ja vektoriavaruuksien välisen isomorfismin yhteyden.

Virittäminen

Osaa laskea kompleksiluvuilla ja tuntee niiden eksponenttiesityksen.

Osaa määrittää alkion virittämän aliryhmän alkiot ja alkion kertaluvun.

Osaa tutkia, onko annettu ryhmä syklinen.

Hallitsee syklisen ryhmän ja alkion kertaluvun käsitteiden erilaiset luonnehdinnat.

Tietää, että syklisen ryhmän aliryhmät ovat syklisiä.

Sivuluokat

Osaa tarkistaa, onko annettu relaatio ekvivalenssirelaatio. Pystyy määrittämään  ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokat.

Pystyy määrittämään annetun aliryhmän sivuluokat.

Soveltaa Lagrangen lausetta.

Hahmottaa sivuluokat ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokkina.

Osaa tarkistaa edustajien avulla, ovatko annetut sivuluokat samoja.