Autonomiset systeemit, kevät 2013

Luennoitsija

Lars Lamberg

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Kurssikuvaus

Mitä reaalimaailman ilmiötä tarkastellaankin, usein kiinnostaa mihin tilanne lopulta johtaa, siis loppukäyttäytyminen, ja myös ilmiön stabiilisuusominaisuudet eli mahdollinen paksunahkaisuus pieniin häiriötekijöihin. Matematiikka tarjoaa erilaisia työkaluja ilmiöiden mallintamiseen ja siten ennustamiseen, ja tuiki tavallisia, perinteellisiäkin, ovat differentiaaliyhtälöt tai niiden systeemit (joissa monta yhtälöä). Useinkaan systeemin matemaattista ratkaisua ei saada suljetussa muodossa, mutta siitä huolimatta ratkaisun (jonka tiedetään olevan olemassa) käyttäytymisestä, dynamiikasta, voidaan sanoa yhtä sun toista. Tällaista analyysiä kutsutaan laadulliseksi, ja se luonnistuu erityisesti nk. autonomisissa systeemeissä. Nämä ovat yhden muuttujan funktioiden differentiaaliyhtälösysteemejä, kylläkin rajoitettu aliluokka, mutta aika tavallinen sovelluksissa. Lyhyesti, jos ajassa kehittyvää ilmiötä säätelevät ehdot eivät suoraan riipu ajasta, mallintavasta differentiaaliyhtälösysteemistä tulee autonominen; siinäkään aika ei esiinny eksplisiittisesti.

Kurssin aihe on autonomisten systeemien dynamiikka. Se pitää sisällään ainakin kaksi kiinnostuksen kohdetta. Ensinnäkin kysymyksen, josko systeemi eli systeemin ratkaisu kehittyy kohti jotain rajatilaa, laveasti ymmärrettynä. Tämä voi olla vaikka systeemin periodinen ratkaisu. Ongelman dimensio näyttelee asiassa suurta roolia, topologisista syistä. Kurssissa todistetaan taso-ongelman rajatilaa koskeva klasssikko, Poincarén-Bendixsonin lause.

Toinen kiinnostava ongelma on kysymys systeemin ratkaisujen stabiilisuudesta, siis jos ratkaisua hieman häiritään, alkuehtoa hieman muutetaan, pysyykö häiritty ratkaisu lähellä alkuperäistä aina hamaan loppuun asti (jonkin matkaahan näin käy, jatkuvuuden nojalla). Tämä kysymys nousi tapetille viimeistään, kun Poincaré pyrki selvittämään, onko auringon, planeettojen ja muiden asiaan kuuluvien kappaleiden liikesysteemi iäti platonisen pysyvä. Hän päätyi ihmettelemään, ettei asia olekaan niin yksinkertainen kuin alkuun voisi luulla. Jos ottaa esimerkin vaikka epidemiologiasta, niin täysin terve populaatio on tasapainotila nolla sairastuneiden määrässä. Jos tämä tila on stabiili, ja populaatioon ilmaantuu muutama sairas, ei synny mitään epidemiaa, vaan tauti hiipuu vähin äänin. Jos tasapainotila on puolestaan epästabiili, niin epidemia syntyy vääjäämättä. On selvää, että tällaiset asiat kiinnostavat epidemiologeja, ja kaikki se mikä asiaan vaikuttaa (systeemin parametrit, esimerkiksi rokotukset). Kurssissa todistetaan stabiilisuutta koskevia klassisia tuloksia Poincerélta, Perronilta ja Lyapunovilta.

Voisi muuten luonnehtia, että kurssi käy hyvästä esimerkistä, kuinka topologiset asiat ovat keskellä analyysiä.

Esitietovaatimukset

Perusanalyysi (kurssit Analyysi I ja II), mielellään differentiaaliyhtälöt (kurssit DY I ja II) ja perustopologia (Topo I). Jonkin verran tarvitaan lineaarialgebraa ja ehkäpä vektorianalyysiä, mutta näistä lainattavat lauseet on helppo selittää aina kun niitä käytetään.

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ti 10-12, to 10-12 B321, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Ensimmäinen luento ti 15.1.

Pääsiäisloma 28.3.-3.4.

Kokeet

Ensimmäinen ke 27.2. 12-15. Huomaa että 2. kurssikokeen aika on muuttunut, aikaistunut. Se pidetään ti 7.5. 10-13, salissa C123. Tenttien kesto on 3 tuntia, ja tenttijä saa käyttää niissä A4-arkin kokoista muistilappua.

Kirjallisuus

Luennot niiden edistyessä tulevat kansioon huoneessa C127.

D.W.Jordan, P.Smith: Nonlinear Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford 1977,

R.K.Nagle, E.B.Saff, A.D.Snider: Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Pearson 2008,

F.Brauer, J.A.Nohel: The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York 1989,

F.Brauer, Castillo-Chávez: Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, 2001,

J.K.Hale: Ordinary Differential Equations, Krieger, New York 1980.

Kurssi seuraa pääasiassa ensimmäisenä mainittua kirjaa.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset

Ensimmäiset laskarit ti 22.1. Harjoitus 7 pidetään heti tauon jälkeen, ti 12.3.

Laskuharjoitustehtävät

Muuta

 Harjoituksista saa kurssikoesuoritukseen enimmillään 10 lisäpistettä seuraavan prosentuaalisen suorituksen mukaan: 5% - 1, 10% - 2, 20% - 3, 30% - 4, 40% - 5, 50% - 6, 60% - 7, 70% - 8, 80% - 9 ja 90% - 10.