Tillbaka till kurssidan

Kursdagbok och extra information

Obs: extra föreläsning med kursprovsområdet och tidigare provuppgifter mån 13.12 kl 14-15 C123

Denna sida innehåller information om det material som behandlats på föreläsningarna (sidan uppdateras efter föreläsningarna). Hänvisningar o.d. är till kompendiet.

tis 7.9. Praktisk information. (Kapitel 0.) Mängder och kalkyl med mängder (repetition och påminnelse). (Kapitel 1.) Rationella tal och deras egenskaper. Kvadratroten av 2 är inte ett rationellt tal.

tor 9.9. De reella talen: några alternativa definitioner. De fundamentala egenskaperna (= axiomen) för reella tal. Absolutbeloppet. Olikheter och beräkning med absolutbelopp.

mån 13.9. Olikheter med absolutbelopp. Triangelolikheterna: formulering, geometrisk tolkning och bevis. Exempel på tillämpningar av triangelolikheterna. Induktionsprincipen med exempel.

tis 14.9. Övre och undre gränser till mängder, begränsade och obegränsade mängder. Största och minsta tal i en given mängd. Exempel. Definitionen av supremum (= minsta övre gräns) till given mängd.

tor 16.9. Definition av infimum (= största undre gräns) till given mängd. Teori: epsilon-karakterisering av supremum och infimum. Exempel med supremum och infimum. Fullständighetsaxiomet. Tillämpning: kvadratroten av 2 existerar (som ett reellt tal).

mån 20.9. Argumentet att kvadratroten av 2 finns som ett reellt tal. Arkhimedes sats med tillämpningar: mellan varje par av reella tal finns både rationella och irrationella tal.

tis 21.9. (Kapitel 2.) Talföljder. epsilon-definitionen av gränsvärdet till en talföljd. Första exempel på konvergens och divergens för talföljder. Nödvändiga villkor för konvergens av talföljder: Sats 4.2, samt att konvergerande talföljder är begränsade.

tor 23.9. Principen om olikheters bevarande i gränsvärden. Instängningsprincipen (Sats 4.11) och exempel. Algebraiska räkneregler för gränsvärden (summa- och produktregeln). Exempel hur räknereglerna används.

mån 27.9. Kvotregeln för gränsvärden. Monotona talföljder (växande eller avtagande följder). Karakterisering av konvergensen av monotona talföljder. Exempel: rekursivt definierade följder.

tis 28.9. Exempel: en rekursiv talföljd som approximerar roten av 3. Bernoullis olikhet (s. 7). Sats 4.10 och definitionen av Nepers tal e. Delföljder av en given talföljd.

tor 30.9. Bolzano-Weierstrass sats (= delföljdssatsen): varje begränsad talföljd har en konvergerande delföljd. Hjälpsats: varje talföljd har en monoton delföljd. Cauchys konvergenskriterium (Sats 4.13). Oegentliga gränsvärden: talföljder som växer eller avtar obegränsat. Exempel.

mån 4.10. Basexempel på oegentliga gränsvärden. (Kapitel 3.) Allmänt om avbildningar (= funktioner). Motiverande exempel om gränsvärdet för en funktion. Exakta (epsilon,delta) definitionen av gränsvärdet för en funktion i en given punkt.

tis 5.10. Olika exempel på gränsvärde för funktioner. Ett nödvändigt villkor för existensen av gränsvärdet (Sats 5.2). Exempel där gränsvärdet saknas. Gränsvärdet är entydigt (ifall det existerar).

tor 7.10. Sats 5.5: om funktionen har ett gränsvärde i en punkt så är den begränsad nära punkten. Algebraiska räkneregler för funktioners gränsvärden. Bevis och olika exempel.

mån 11.10. Sambandet mellan gränsvärdet av funktioner och gränsvärdet av talföljder (Sats 5.3). Generaliseringar av gränsvärdesbegreppet: höger- och vänstergränsvärden, gränsvärdet i oändligheten och minus oändligheten. Diverse exempel.

tis 12.10. Oegentliga gränsvärden av funktioner. Exempel tillsammans med räkneregler. Monotona funktioner (dvs. växande eller avtagande funktioner) samt exempel.

tor 14.10. Gränsvärdet för monotona funktioner (Sats 5.9). Ett urval tidigare provuppgifter.

II. perioden

mån 1.11. Påminnelse: gränsvärdet av funktioner, derivatan som gränsvärdet av differenskvoten. (Kapitel 4.) Definitionen av funktioners kontinuitet. Exempel på kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner.

tis 2.11. Algebraiska räkneregler som bevarar kontinuitet av funktioner. Exempel: polynom och rationella funktioner är kontinuerliga. Kontinuiteten av sammansatta funktioner och exempel.

tor 4.11. Egenskaper hos kontinuerliga funktioner: Bolzanos sats och satsen om mellanliggande värden. Exempel: rötter av polynom och fixpunkter för en kontinuerlig funktion. Största och minsta värdet för en funktion i en given mängd.

mån 8.11. (Weierstrass) min-maxsats: varje kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall har ett största och ett minsta värde. Exempel på olika tillämpningar och begränsningar av min-maxsatsen.

tis 9.11. Typer av avbildningar: injektioner, surjektioner, bijektioner. Inversa avbildningen till en bijektion. Sats 6.9: om f är en strängt växande (resp., strängt avtagande) kontinuerlig avbildning på ett intervall, så är bildmängden ett intervall och inversa avbildningen till f är kontinuerlig och strängt växande (resp., strängt avtagande).

tor 11.11. Tillämpningar av satsen om kontinuiteten av inversa funktioner: konstruktion av funktionen n:te roten av x. (Kapitel 5) Derivatan av en funktion i en punkt: definition, geometrisk tolkning och exempel.

mån 15.11. Deriverbara funktioner är kontinuerliga (i de punkter där derivatan existerar). Deriveringsregler: derivatan av summa- och produktfunktioner, samt exempel.

tis 16.11. Derivatan av kvoten av två funktioner samt exempel. Kedjeregeln: derivatan av en sammansatt funktion och exempel. Derivatan av en invers funktion.

tor 18.11. Exempel om derivata av invers funktion. Andra typer av derivator: högre derivator, höger- och vänsterderivata. Egenskaper och tillämpningar av derivatan: tecknet av derivatan och lokala egenskaper hos funktionen (Lemma 8.1), derivatan försvinner i punkt där maximum eller minimum uppnås (Kor. 8.2), ifall funktionen deriverbar.

mån 22.11. Rolles sats och medelvärdessatsen (MVS). Tillämpningar: integralkalkylens fundamentalsats och medelvärdesolikheterna. Feluppskattning med hjälp av medelvärdessatsen.

tis 23.11. Liouvilles sats: svårigheten att approximera roten av 2 med rationella tal (extra tillämpning av MVS). Monotonicitetskriterier för funktioner med hjälp av derivatan. Exampel. Lokala extremvärdespunkter (definition).

tor 25.11. Derivatatestet för lokala extremvärden (Sats 8.8 och 8.9). Exempel. Sammanfattning: vad bör man beakta när söker det största eller minsta värdet för en given funktion i ett intervall. Exempel.

mån 29.11. Test med andra derivatan för lokala extremvärden (Sats 8.10) samt exempel. Konvexa och konkava funktioner: allmän geometrisk definition och exempel. Karakterisering av deriverbara konvexa funktioner.

tis 30.11. Test med andra derivatan för konvexitet och konkavitet (Sats 8.13) och exempel. L'Hospitals regel (enkla formen) och exempel. Kommentar: några vidare egenskaper hos derivatan. (Kapitel 6.) Hur definiera exponentialfunktionen?

tor 2.12. Konstruktion av exponentialfunktionen. Egenskaper: exponentialfunktionen e^x är strängt växande, kontinuerlig och deriverbar i R. Derivatan D(e^x) = e^x för varje x.

tis 7.12. Exponentialfunktionen växer snabbare än varje polynom. Logaritmfunktionen och dess egenskaper. Generaliserade exponential- och logaritmfunktioner. Hyperboliska funktionerna och deras inversa funktioner (areafunktionerna).

tor 9.12. Trigonometriska funktionerna: definition och basegenskaper av sinus, kosinus och tangentfunktionen. Arkusfunktionerna (inversa funktioner till de trigonometriska funktionerna) och deras derivator.

Här finns centralt övningsmaterial till genomgång för 1. kursprovet och för 2. kurssikoe (på finska) samt 2. kursprovet (samma på svenska).