Wiki source code of Analyysi II, kevät 2011

Last modified by koskenoj@helsinki_fi on 2024/03/27 10:05
Show last authors
1 = Analyysi II, kevät 2011 =
2
3 === Luennoitsija ===
4
5 [[Juha Oikkonen>>doc:mathstatHenkilokunta.Oikkonen, Juha]]
6
7 === Laajuus ===
8
9 10 op.
10
11 === Tyyppi ===
12
13 Perusopintoja
14
15 === Esitietovaatimukset ===
16
17 Kurssin opiskelun edellytyksenä on kurssin Analyysi I keskeisten asioiden osaaminen. Tärkeintä on raja-arvon käsitteiden "epsilon-määritelmän" käytön hallitseminen sekä supremumin ja infimumin käsitteiden osaaminen.
18
19 === Luentoajat ===
20
21 Viikot 3-8 ja 11-17 ti 12-14, to 12-14, pe 9-11 A111. Lisäksi 2 viikkotuntia ohjauksia ja 2 viikkotuntia laskuharjoituksia.
22
23 Pääsiäisloma 21.-27.4.
24
25 === Kokeet ===
26
27 * 1. kurssikoe 3.3. 13-15 Exactumin auditorioissa
28 * 2. kurssikoe 5.5. 13-15 Exactumin auditorioissa
29
30 === 2. kurssikokeen ratkaisut arvostelukommentteineen ===
31
32 [[Ratkaisut>>attach:a22kk11.pdf]]
33
34 === Lisäpisteitä ===
35
36 Kurssilla voi saada lisäpisteitä laskuharjoituksista ja ohjauksista.
37
38 Laskuharjoituksista saa 4 pistettä, jos laskettu vähintään 50 tehtävää;
39 3 pistettä, jos laskettu alle 50 mutta vähintään 40 kpl; 2 pistettä,
40 jos laskettu alle 40 mutta vähintään 30 kpl; ja 1 piste, jos laskettu
41 alle 30 mutta vähintään 20 kpl kevään tehtävistä.
42
43 Ohjauksiin osallistumisesta on saa lisäpisteitä näin: jos osallistuu myöhemmin ilmoitetusta päivästä
44 alkaen 4-6 ohjaukseen, niin saa 2 lisäpistettä ja osallistumalla 3 ohjaukseen saa yhden lisäpisteen.
45
46 === Kirjallisuus ===
47
48 Kurssilla käytetään Jouni Kankaanpään kirjoittamaa Yliopistopainon painalmaa monistetta
49 Analyysi II: Differentiaali- ja integraalilaskenta I.2. Hinta 7,50 €
50
51 Lauri Myrbergin kirja Differentiaali- ja integraalilaskenta I - II on oivaa oheisluettavaa.
52
53 Kurssimateriaali löytyy sähköisessä muodossa osoitteesta
54
55 [[http:~~/~~/mathstat.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/>>url:http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/||shape="rect"]]
56
57 (Tuo nettisivu liittyy kurssiin vanhalla nimellä Differentiaali- ja integraalilaskena I.2.
58 Siellä on tietoja mm. koeajoista ja harjoitusten pitäjistä, mitkä eivät tietenkään ole enää
59 paikkansapitäviä.)
60
61 Monisteen voi ostaa seuraavilla tavoilla.
62
63 1) Tiistaina 18.1.2011 luennon (klo 12 - 14, sali A 111) yhteydessä Exactumin ala-aulassa on Yliopistopainon myyntipöytä. Käteismaksu.
64
65 2) Opintomonisteen tilaaminen Yliopistopainon verkkokirjakaupasta
66
67 [[http:~~/~~/kirjakauppa.yliopistopaino.fi>>url:http://kirjakauppa.yliopistopaino.fi||shape="rect"]]
68
69 Valitse Kustantajat-listasta ”Opintomonisteet (HY)”. Valitse tuote ja lisää ostoskoriin. Siirry ostoskoriin. Maksa verkkopankissa tai luottokortilla. Valitse toimitustapa "Nouto Kumpula vahtimestari". Täytä muut tiedot ja lähetä tilaus. Nouda kuori nimelläsi Exactum, kopiohuone (Gustaf Hällströmin katu 2, Helsinki) 1. krs, vahtimestarin takana. Toimitusmaksua ei peritä. Toimitusaika 1-3 työpäivää.
70
71 Voit tilata verkkokaupassa monisteen myös suoraan kotiin maksamalla toimitusmaksun. Toimitusaika määrittyy tällöin Itellan jakeluaikojen mukaan.
72
73 3) Voit käydä ostamassa monisteen käteisellä keskustakampuksella Yliopistopainon Kirjamyynnistä, Vuorikatu 3A, Helsinki.)
74
75 === Analyysi II -kurssin Moodle ===
76
77 Kurssin käytössä on Moodle-työalue osoitteessa
78
79 [[https:~~/~~/moodle.helsinki.fi/course/view.php?id=2937>>url:https://moodle.helsinki.fi/course/view.php?id=2937||shape="rect"]]
80
81 Siellä keskustellaan kaikesta kurssin opiskelua koskevasta. Mm. laskuharjoitustehtävien ratkaisemisesta.
82 (Tehtävät ja niiden malliratkaisut tulevat tänne kurssin kotisivulle.)
83
84 === Kurssin keskeinen sisältö ===
85
86 Kurssi jakautuu seuraaviin osiin
87
88 ===== 1. Riemannin integraalit =====
89
90 Toisin kuin koulussa, pääpaino on määrätyn (Riemannin) integraalin käsitteellä. Integraalifunktiot tulevat paljolti näiden sivutuotteina.
91
92 Kurssi alkaa lyhyen johdattelun jälkeen samanaikaisesti kahdella teemalla, joita opiskellaan rinnakkain
93
94 (% class="alternate" %)
95 * Integraalien laskeminen: otetaan "analyysin peruslause" käyttöön ennen kuin se voidaan todistaa ja tutustutaan osittaisintegrointiin ja sijoitusmenetelmään (molempiin määrättyjen integraalien tapauksessa.) Tällä pyritään siihen, että käytännön integrointitaidon kehittymiselle saadaan enemmän aikaa.
96
97 (% class="alternate" %)
98 * Riemannin integraalin määrittelyprosessi. Yhtenä huipentumana tästä ponnistelusta on tulos: jokainen jatkuva funktio on jonkin funktion derivaattafunktio. (Huomaa, että jatkuvat funktiot saattavat olla hyvinkin "häijyjä": on olemassa sellaisia jatkuvia funktioita, joilla ei ole yhdessäkään kohtaa derivaattaa.)
99
100 ===== 2. Epäoleelliset integraalit =====
101
102 Nämä ovat Riemannin integraalien raja-arvoja tilanteissa, missä syystä tai toisesta Riemannin integraalin käsite ei ole käytettävissä. Keskeinen kysymys koskee epäoleellisten integraalien suppenemista: ko. raja-arvojen olemassaoloa.
103
104 ===== 3. Sarjat =====
105
106 Äärettömän monen luvun summa ei sinänsä tarkoita mitään. Sarjateoriassa tätä yritetään kiertää tutkimalla äärellisten (osa)summien muodostamien lukujonojen suppenemista.
107
108 Tavallaan sarjateoria on Analyysi I -kurssin lukujonoja koskevan osuuden jatkoa uusin merkinnöin. Erityisesti tämä merkitsee sitä, että lukujonoja koskevat tiedot
109 kannattaa kerrata huolella. Osoittautuu, että monet hämmentävän näköiset sarjoja
110 koskevat ajatukset ovat itse asiassa todella helppoja lukujonojen ominaisuuksia.
111
112 ===== 4. Funktiojonojen (tasainen) suppeneminen =====
113
114 Nyt tutkitaan jonoja, joiden jäsenet ovat funktioita. Tavallaan on kyse siitä,
115 että jokaisen x kohdalla on oma lukujononsa, jonka suppenemista voidaan tutkia.
116 Jos näillä kaikilla on raja-arvo, sanotaan, että funktiojonomme suppenee pisteittäin.
117
118 Ennen kaikke pohditaan sitä, milloin raja-arvona saatava funktio on jatkuva tai muuten "siisti". Tässä astuu kuvaan tasaisen suppenemisen käsite, joka tavallaan vaatii, että suppeneminen on jokaisen x kohdalla yhtä nopeaa.
119
120 ===== 5. Potenssisarjat =====
121
122 Tässä yhdistyvät kurssin osuudet 3 ja 4. Tutkitaan "funktiosarjoja", joiden osasummat ovat polynomeja geometrisen sarjan osasummien tapaan.
123
124 Itse asiassa geometrinen sarja on monella tavalla kaikkein tärkein esimerkki.
125
126 ===== 6. Taylorin polynomit ja sarjat =====
127
128 Tässä jaksossa tutkitaan eniten sitä, miten funktioita voi jäljitellä sellaisilla
129 polynomeilla, joiden kertoimet määräytyvät funktion derivaatoista.
130
131 Taylorin polynomeihin johdutaan oikeastaan jo alkukeväästä muutamassa osittais-
132 integrointia koskevassa harjoitustehtävässä.
133
134 Taylorin polynomien avulla saadaan kiinnostavat yleistykset syksyn kurssin
135 väliarvolauseelle ja karakterisaatiolauseelle. Näiden avulla voidaan laskea mm.
136 likiarvoja sellaisille integraaleille, joiden tarkkaa arvoa emme pysty laskemaan sekä selvittämään hankalia raja-arvokysymyksiä.
137
138 Kurssin Analyysi II sisältö saattaa ensi silmäyksellä tuntua hajanaiselta. Luennoilla ja
139 kurssin Moodlessa (ks. alle) tullaan keskustelemaan "Analyysin peruskysymyksestä", mikä on
140 (eräs) näkökulma, joka sitoo kevään ohjelmamme loogiseksi kokonaisuudeksi.
141
142 === [[Ilmoittaudu>>url:https://oodi-www.it.helsinki.fi/hy/opintjakstied.jsp?html=1&Tunniste=57017||shape="rect"]] ===
143
144 Unohditko ilmoittautua? [[Mitä tehdä>>doc:mathstatOpiskelu.Kysymys4]].
145
146 === Laskuharjoitukset ===
147
148 |=(((
149 Ryhmä
150 )))|=(((
151 Päivä
152 )))|=(((
153 Aika
154 )))|=(((
155 Paikka
156 )))|=(((
157 Pitäjä
158 )))
159 |(((
160 1.
161 )))|(((
162 ke
163 )))|(((
164 12-14
165 )))|(((
166 C322
167 )))|(((
168 Lauri Sankari
169 )))
170 |(((
171 2.
172 )))|(((
173 ke
174 )))|(((
175 14-16
176 )))|(((
177 C322
178 )))|(((
179 Esko Heinonen
180 )))
181 |(((
182 3.
183 )))|(((
184 ke
185 )))|(((
186 16-18
187 )))|(((
188 C322
189 )))|(((
190 Johanna Rämö
191 )))
192 |(((
193 4.
194 )))|(((
195 to
196 )))|(((
197 8-10
198 )))|(((
199 C322
200 )))|(((
201 Johanna Rämö
202 )))
203 |(((
204 5.
205 )))|(((
206 to
207 )))|(((
208 14-16
209 )))|(((
210 C322
211 )))|(((
212 Kaarlo Reipas
213 )))
214 |(((
215 6.
216 )))|(((
217 to
218 )))|(((
219 16-18
220 )))|(((
221 C322
222 )))|(((
223 Kaarlo Reipas
224 )))
225 |(((
226 7.
227 )))|(((
228 pe
229 )))|(((
230 11-13
231 )))|(((
232 D123
233 )))|(((
234 Esko Heinonen
235 )))
236 |(((
237 8.
238 )))|(((
239 pe
240 )))|(((
241 15-17
242 )))|(((
243 C322
244 )))|(((
245 Jani Hannula
246 )))
247
248 Opelinjalaisten laskarit:
249
250 |=(((
251 Ryhmä
252 )))|=(((
253 Päivä
254 )))|=(((
255 Aika
256 )))|=(((
257 Paikka
258 )))|=(((
259 Pitäjä
260 )))
261 |(((
262 9.
263 )))|(((
264 to
265 )))|(((
266 10-12
267 )))|(((
268 C122
269 )))|(((
270 Okko Kanerva
271 )))
272
273 Svenskspråkig räkneövning:
274
275 |=(((
276 Grupp
277 )))|=(((
278 Dag
279 )))|=(((
280 Tid
281 )))|=(((
282 Plats
283 )))|=(((
284 Instruktör
285 )))
286 |(((
287 1.
288 )))|(((
289 fre
290 )))|(((
291 12-14
292 )))|(((
293 C129
294 )))|(((
295 Susanna Liesipohja
296 )))
297
298 === Ohjaukset ===
299
300 |=(((
301 Ryhmä
302 )))|=(((
303 Päivä
304 )))|=(((
305 Aika
306 )))|=(((
307 Paikka
308 )))|=(((
309 Pitäjä
310 )))
311 |(((
312 1.
313 )))|(((
314 ma
315 )))|(((
316 12-14
317 )))|(((
318 C129
319 )))|(((
320 Riikka Tuovinen
321 )))
322 |(((
323 2.
324 )))|(((
325 ma
326 )))|(((
327 14-16
328 )))|(((
329 C322
330 )))|(((
331 Riikka Tuovinen
332 )))
333 |(((
334 3.
335 )))|(((
336 ma
337 )))|(((
338 16-18
339 )))|(((
340 C322
341 )))|(((
342 Jani Hannula
343 )))
344 |(((
345 4.
346 )))|(((
347 ti
348 )))|(((
349 10-12
350 )))|(((
351 C322
352 )))|(((
353 Lauri Sankari
354 )))
355 |(((
356 5.
357 )))|(((
358 ti
359 )))|(((
360 14-16
361 )))|(((
362 C322
363 )))|(((
364 Riikka Tuovinen
365 )))
366 |(((
367 6.
368 )))|(((
369 ti
370 )))|(((
371 16-18
372 )))|(((
373 C322
374 )))|(((
375 Aapo Tevanlinna
376 )))
377 |(((
378 7.
379 )))|(((
380 ke
381 )))|(((
382 8-10
383 )))|(((
384 C322
385 )))|(((
386 Aapo Tevanlinna
387 )))
388 |(((
389 8.
390 )))|(((
391 ke
392 )))|(((
393 10-12
394 )))|(((
395 C122
396 )))|(((
397 Esko Heinonen
398 )))
399
400 Opelinjalaisten ohjaus:
401
402 |=(((
403 Ryhmä
404 )))|=(((
405 Päivä
406 )))|=(((
407 Aika
408 )))|=(((
409 Paikka
410 )))|=(((
411 Pitäjä
412 )))
413 |(((
414 9.
415 )))|(((
416 ti
417 )))|(((
418 8-10
419 )))|(((
420 C322
421 )))|(((
422 Lauri Sankari
423 )))
424
425 Svenskspråkig handledning:
426
427 |=(((
428 Grupp
429 )))|=(((
430 Dag
431 )))|=(((
432 Tid
433 )))|=(((
434 Plats
435 )))|=(((
436 Instruktör
437 )))
438 |(((
439 1.
440 )))|(((
441 tis
442 )))|(((
443 8-10
444 )))|(((
445 B321
446 )))|(((
447 Susanna Liesipohja
448 )))
449
450 === Laskuharjoitustehtävät ===
451
452 [[Harjoitus 1>>attach:harj1.pdf]]
453 [[Harjoitus 2>>attach:harj2.pdf]]
454 [[Harjoitus 3>>attach:harj3.pdf]]
455 [[Harjoitus 4>>attach:harj4.pdf]]
456 [[Harjoitus 5>>attach:harj5.pdf]]
457 [[Harjoitus 6>>attach:harj6.pdf]]
458 [[Harjoitus 7>>attach:harj7.pdf]]
459 [[Harjoitus 8>>attach:harj8.pdf]]
460 [[Harjoitus 9>>attach:harj9.pdf]]
461 [[Harjoitus 10>>attach:harj10.pdf]]
462 [[Harjoitus 11>>attach:harj11.pdf]]
463
464 === Ohjaustehtävät ===
465
466 [[Ohjaus 1>>attach:ohj1.pdf]]
467 [[Ohjaus 2>>attach:ohj2.pdf]]
468 [[Ohjaus 3>>attach:ohj3.pdf]]
469 [[Ohjaus 4>>attach:ohj4.pdf]]
470 [[Ohjaus 5>>attach:ohj5.pdf]]
471 [[Ohjaus 1. kurssikoetta varten>>attach:ohjvk1varten.pdf]]
472 [[Ohjaus 6>>attach:ohj6.pdf]]
473 [[Ohjaus 7>>attach:ohj7.pdf]]
474 [[Ohjaus 8>>attach:ohj8.pdf]]
475 [[Ohjaus 9>>attach:ohj9.pdf]]
476 [[Ohjaus 10>>attach:ohj10.pdf]]
477 [[Ohjaus 11>>attach:ohj11.pdf]]
478
479 === Räkneövningar på svenska ===
480
481 [[Övning 1>>attach:harj1ruots.pdf]]
482 [[Övning 2>>attach:ovn2.pdf]]
483 [[Övning 3>>attach:ovn3.pdf]]
484 [[Övning 4>>attach:ovn4.pdf]]
485 [[Övning 5>>attach:ovn5.pdf]]
486 [[Övning 6>>attach:ovn6.pdf]]
487 [[Övning 7>>attach:ovn7.pdf]]
488 [[Övning 8>>attach:ovn8.pdf]]
489 [[Övning 9>>attach:ovn9.pdf]]
490 [[Övning 10>>attach:ovn10.pdf]]
491 [[Övning 11>>attach:ovn11.pdf]]
492
493 === Handledningar på svenska ===
494
495 [[Handledning 1>>attach:ohj1ruots.pdf]]
496 [[Handledning 2>>attach:handl2.pdf]]
497 [[Handledning 3>>attach:handl3.pdf]]
498 [[Handledning 4>>attach:handl4.pdf]]
499 [[Handledning 5>>attach:handl5.pdf]]
500 [[Handledning inför första delförhöret>>attach:handl1tent.pdf]]
501 [[Handledning 6>>attach:handl6.pdf]]
502 [[Handledning 7>>attach:handl7.pdf]]
503 [[Handledning 8>>attach:handl8.pdf]]
504 [[Handledning 9>>attach:handl9.pdf]]
505 [[Handledning 10>>attach:handl10.pdf]]
506 [[Handledning 11>>attach:handl11.pdf]]
507 [[Handledning inför andra delförhöret>>attach:handl2tent.pdf]]
508
509 === Laskuharjoitustehtävien ratkaisuja ===
510
511 [[Harjoitus 1 ratkaisut>>attach:a2h1.pdf]]
512 [[Harjoitus 2 ratkaisut>>attach:h2_ratk.pdf]]
513 [[Harjoitus 3 ratkaisut>>attach:h3r.pdf]]
514 [[Harjoitus 4 ratkaisut>>attach:Analyysi2harj4.pdf]]
515 [[Harjoitus 5 ratkaisut>>attach:AIIharj5.pdf]]
516 [[Harjoitus 6 ratkaisut>>attach:a2h6.pdf]]
517 [[Harjoitus 7 ratkaisut>>attach:h7_ratk.pdf]]
518 [[Harjoitus 8 ratkaisut>>attach:analyysiII_2011_ratk8.pdf]]
519 [[Harjoitus 9 ratkaisut>>attach:harj9_mallit.pdf]]
520 [[Harjoitus 10 ratkaisut>>attach:a2h10.pdf]]
521 [[Harjoitus 11 ratkaisut>>attach:a2h11.pdf]]
522
523 === Ohjaustehtävien ratkaisuja ===
524
525 [[Ohjaus 1 ratkaisut>>attach:AII_k11_O1.pdf]]
526 [[Ohjaus 2 ratkaisut>>attach:A2O2.pdf]]
527 [[Ohjaus 3 ratkaisut>>attach:ohj3_mallit.pdf]]
528 [[Ohjaus 4 ratkaisut>>attach:AII_k11_O4.pdf]]
529 [[Ohjaus 5 ratkaisut>>attach:analyysi2ohjaus5.pdf]]
530 [[Ohjaus 1. kurssikoetta varten ratkaisut>>attach:A2O1kk.pdf]]
531 [[Ohjaus 6 ratkaisut>>attach:AII_k11_O6.pdf]]
532 [[Ohjaus 7 ratkaisut>>attach:ohj7_mallit.pdf]]
533 [[Ohjaus 8 ratkaisut>>attach:AIIohj8.pdf]]
534 [[Ohjaus 9 ratkaisut>>attach:A2o9.pdf]]
535 [[Ohjaus 10 ratkaisut>>attach:AII_k11_O10.pdf]]
536 [[Ohjaus 11 ratkaisut>>attach:ohj11_mallit.pdf]]
537 [[Ohjaus 2. kurssikoetta varten ratkaisut>>attach:a2koeohj2.pdf]]
538
539 === Kertaustehtäviä ===
540
541 [[Kertaus 1. kurssikoetta varten>>attach:koekertaus1.pdf]]
542 [[Kertaus 2. kurssikoetta varten>>attach:kokeeseen2.pdf]]
543
544 === Lisämateriaalia ===
545
546 Tässä tekstiä, johon on koottu eräitä kurssien analyysi I ja II kaikista
547 abstrakteimpia tuloksia sekä vähän muuta.
548
549 [[Haarukointi>>attach:haarukointi'.pdf]]
550
551 Tässä kirjoittamani artikkeli, jossa kuvaillaan laitoksemme alkuvaiheen opetuksen tuloksia
552 ja niiden taustalla olevia ajatuksia.
553
554 [[Ideas and results in teaching beginning math students>>attach:908751200.pdf]]