Stokastinen analyysi, kevät 2008

Luennoitsija

Dario Gasbarra

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Todennäköisyysteoria.

Luentoajat

Luennot ti 12-14 B322 ja to 10-12, C122 (Huom.: luokka vaihtunut ). Kurssi kestää koko kevään eli periodit III ja IV ( ensimmäinen luento ti 15.1).

Laskuharjoitustehtävät

Harjoitus 1 (28.01.08) , ratkaisut .

Harjoitus 2 (6.02.08) , ratkaisut .

Harjoitus 3 (13.02.08) , ratkaisut .

Harjoitus 4 (20.02.08) , ratkaisut .

Harjoitus 5 (27.02.08) , ratkaisut .

Harjoitus 6 (19.03.08) , ratkaisut .

Harjoitus 7 (26.03.08), ratkaisut .

Harjoitus 8 (09.04.08) , ratkaisut .

Harjoitus 9 (16.04.08) , ratkaisut .

Harjoitus 10 (23.04.08) , ratkaisut .

Sisältö

Kurssi käsittelee jatkuvien martingaalien teoriaa.

I. Diskreetti aikanen martingaali teoriaa. Tasaisesti integroituvia martingaalit, neliö integroituvia martingaalit martingaali konvergenssi lause , Doobin maksimaalinen epäyhtälö.

II. Stokastiset prosessit jatkuvassa ajassa. Brownin liike, sen konstruktioita ja ominaisuuksia. Levy prosessien perusmääritelmät. Markovin prosessit. Feller prosessit, Vahva Markovin ominaisuus.

III. Iton kalkyyli: Rajoitetusti heilahtelevat funktiot ja Stiletjes integraalit. Qvadraattinen variaatio, Iton isometria Brownin liikkeelle ja Ito integraali. Burkholder Davis Gundy epäyhtälö. Föllmerin poluttainen integraali, Iton kaava, Lokaali aika, Ito-Tanakan kaava.

IV Mitan vaihto: Girsanovin kaava, stokastinen eksponentiaali, Gronwallin lemma. Sovelluksia stokastisen filteroinnin teoriaan.

V. Stokastiset differentiaali yhtälöt, heikot ja vahvat ratkaisut, martingaali ongelma. Sovelluksia: Probabilistiset ratkaisut osittaisdifferentiaali yhtälöille. Kakutanin lause, Feynman-Kac kaava.

VI. Ito-Clarck martingaali esitys lause. Sovelluksia: optioiden hinnoittelu Black & Scholes osake mallissa.

Kirjallisuus

On tarkoitus seuraata Daniel Revuz ja Marc Yorin kirjaa "Continuous martingales and Brownian motion", 2nd edition Springer 2005.

Diskreettiaikasta martingaaliteoriaa luemme David Williamsin kirjasta: Probability with Martingales (Cambridge Mathematical Textbooks).

Tämä materiaali löytyy kaikista stokastisen analyysin kirjoista, yhtä hyvin voidaan seurata kurssia lukemalla

Karatzas ja Shreve Brownian motion and stochastic calculus, Second edition, 1998 Springer

tai

Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations, 6th edition 2005 Springer.

Laskuharjoitukset