Mitta ja integraali, kevät 2009

Luennoitsija

dos. Ilkka Holopainen

Laajuus

6 op.

Tyyppi

Aineopintoja.

Esitietovaatimukset

Yhden ja useamman muuttujan integraalilaskenta (kurssit Analyysi I, Analyysi II ja Vektorianalyysi)
 Topologia I

Luentoajat

Viikot 3-9 ti 12-14, to 10-12 CK112. Lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Suoritustapa

Kurssi suoritetaan loppukokeella.
 Ensimmäinen mahdollisuus on 3.3.2009 (klo 12-16). Kokeeseen on ilmoittauduttava WebOodissa viimeistään 23.2.

Sisältö

Ydinaines

Lebesguen ulkomitta Rn:ssä
 Mitalliset joukot (Caratheodoryn ehto, numeroituvan yhdisteen/leikkauksen mitallisuus)
 Mitalliset kuvaukset, rajafunktion mitallisuus
 Lebesguen integraali (yksinkertaiset funktiot, ei-negatiiviset mitalliset funktiot, integroituvat funktiot)
 Konvergenssilauseet (monotonisen konvergenssin lause, Fatoun lemma, dominoidun konvergenssin lause)

Täydentävä tietous

Sigma-algebrat
 Borel-joukot
 Yleinen mitta-avaruus
 Mittojen konvergenssi
 Ei-mitallinen joukko
 Fubinin lauseet

Erityistietämys

Hausdorffin mitta ja dimensio

Kirjallisuus

Holopainen, I.: Mitta ja integraali , luentomuistiinpanot.
 A.M. Bruckner, J.B. Bruckner and B.S. Thomson: Real analysis.
 Friedman, Avner: Foundations of modern analysis.
 Gordon, Russell A.: The integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron and Henstock.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset

Harjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:
 25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.
 Lisäpisteet ovat voimassa vuoden.

Laskuharjoitustehtävät ja malliratkaisut