Hyperreaaliluvut, kevät 2008

Luennoitsija

dos. Kari Ylinen

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Luentoajat

III ja IV periodi, joka toinen viikko ma 10-12 ja 14-16 B321. Alkaa 14.1.

Suoritustapa

Kurssi suoritetaan erilliskokeella.

Sisältö

Hyperreaalilukujen järjestetty kunta voidaan tulkita tavallisen reaalilukujoukon laajennukseksi, joka sisältää myös äärettömän suuria ja infinitesimaalisen pieniä alkioita. Kurssi käsittelee tällaisen rakenteen perusteoriaa ja toimii samalla johdantona ns. epästandardiin analyysiin. Epästandardi analyysi on Abraham Robinsonin 1960-luvulla löytämä lähestymistapa mm. analyysin rajaprosessien käsittelyyn entistä havainnollisemmalla tavalla. Nykyään teorialla on tärkeitä sovelluksia mm. stokastiikkaan ja matemaattiseen fysiikkaan. Hyperreaalilukujen kurssia on mahdollista seurata pelkän analyysi I:n kurssin pohjalta, sillä mm. tarvittava logiikka ja joukko-oppi esitellään kurssin aikana. Tottumuksesta abstraktiin matemaattiseen ajatteluun on luonnollisesti hyötyä.

Kurssin sisältö pääpiirteissään:

Dedekind-täydellisyyden, Cauchy-täydellisyyden ja Arkhimedeen ominaisuuden yhteys. Reaaliluvut Dedekind-täydellisenä järjestettynä kuntana. Matemaattisen logiikan alkeita. Filtterit ja ultrafiltterit. Hyperreaalilukujen joukon konstruktio ultrapotenssina ja niiden perusominaisuudet. Epästandardien laajennusten käytöstä alkeisanalyysissä. Epästandardin analyysin siirtoperiaate ja sen sovelluksia.

Kurssimateriaali

Oppikirjoja:

R. Goldblatt, "Lectures on the hyperreals, an introduction to nonstandard analysis", Springer 1998.

R. F. Hoskins, "Standard and nonstandard analysis", Ellis Horwood, 1990.

A. E. Hurd and P. A. Loeb, "An introduction to nonstandard real analysis", Academic Press, Inc., 1985.

Kurssi perustuu luentomonisteeseen eikä seuraa mitään tiettyä oppikirjaa.