<< Takaisin kurssisivulle

Algebra I, kevät 2009

Luentomateriaalin kirjoitusvirheitä (ja muutakin keskusteluttavaa)

Sivu 9, rivi 4 alhaalta: Lukee A_0\subset B; on oltava A_0\subset A.

Sivu 12, Lauseen tod., 2. viim. rivi: Lopussa lukee id_A; on oltava id_B.

Sivu 12, Esim.: (g\circ f):n pisteessä x lasketun arvon 2. lausekkeessa on nimittäjässä oltava terminä (-3):n sijasta -3x.

Sivu 16, Lauseen tod., 5. rivi: Lukee b\in B; on mieluummin luettava b\in N.

Sivu 17, induktiotodistukset, b)-kohdat: Mielestäni "jollakin n\in N" ja "jollakin n\ge n_0" on korvattava ilmaisuilla "jollakin tietyllä n\in N" ja vast. "jollakin tietyllä n\ge n_0".

Sivu 18, Huom., 3. rivi: Lukee N_+; on oltava J_n.

Sivu 19, Lemman 2 tod., Ind.ol.: Mielestäni oltava "eräällä tietyllä n\in N".

Sivu 21, 6. ja 7. rivi: n+1 on korvattava (m+1):llä.

Sivu 39: Lukee "c|d" (r. 8) ja "d on s.y.t." (r. 10); oltava "d|b" ja "r_n on s.y.t.".

Sivu 46, Kiinalainen jäännöslause: Huomaa, että jos kok.luku x on molempien kongruenssien
 ratkaisu, niin kok.luku x' on myös näiden kongruenssien ratkaisu jos ja vain jos x on kongruentti x':n kanssa modulo mn.

Sivu 47, Lemman tod., viim. rivi: Lukee an; oltava an'.

Sivu 63, Lause 9, 2. rivi: Ei 1_G', vaan 1_G.

Sivu 66, rivi 9: Ei X pois x_0, vaan X pois x_0 ja x.

Sivu 81, rivit 4 ja 8: Ei "Lause III.10.i)", vaan "Sivun 62 Lause, b)"; ei "Esim. 6:ssa", vaan "Esim. 3:ssa".

Sivu 84, Huom. a), 1. rivi: Ekvivalenssin sijasta pätee vain implikaatio oikealle.

Sivu 86, rivit 3-4: Ei f, vaan mu (kolmasti).

Sivu 87, Lemman tod.: Jälkimmäisen implikaation suunta on käännettävä, ja sen todistuksessa
 x on korvattava x_0:lla (kahdesti).

Sivu 88, rivi 4: Tässä on (vahingossa) käytetty huomiota, että (ykkösellisessä) renkaassa R ideaalin I määritelmässä ehto ii), että x-y on I:ssä, jos x ja y ovat I:ssä, voidaan korvata ehdolla ii'), että x+y on I:ssä, jos x ja y ovat I:ssä, sillä x-y=x+(-1_R)y.

Sivu 90, rivi 1: Ei vain ryhmähomom., vaan jopa ryhmäisom.

Sivu 92, Esim. a): Nollantekijä on tietysti vain synonyymi termille nollanjakaja.

Sivu 94, Kunnan määritelmän jälkeinen väite: Implikaatio oikealta vasemmalle ei päde; ks. harj.teht. 10:6.

Sivu 96, tapaus char(K)=0: VI.3 tarkoittaa seur. sivulla 97 olevaa luvun VI.3 Lausetta 9.

Sivu 97, Lause 9: Huomaa, että koska rengas R on isomorfinen kunnan Q(R) alirenkaan Im(j) kanssa ja koska kunnassa aina alirenkaat ovat kokonaisalueita, niin Lauseessa oletus, että R on kokonaisalue, on välttämätön.

Sivu 99: Oltava (f*g)n=f_0g_n + f_1g(n-1)+ ... + f_ng_0 (yksi alaindeksi puuttui).
 Kuvausten (eli jonojen) f ja g tuloa f*g kutsutaan f:n ja g:n konvoluutioksi.

Sivu 100, kaksi viimeistä riviä: Ei mieluusti "Ind.ol.: kaava pätee x^k:lle, missä k\in N", vaan "Ind.ol.: Olkoon k\in N sellainen, että kaava pätee x^k:lle".

Sivu 102, Lauseen tod.: Rivillä, jolla (f+g)(c) ei summassa c^n, vaan c^i.

Sivu 106, rivi 1: Välttämätönkö? Ainakin oleellinen!

Sivu 106, Lauseen 15 todistus, "->": Jos R:ssä on 1=0, niin x-c=0, joten deg(x-c)=-ääretön, eikä todistus toimi; mutta toisaalta tällöin on f=0, joten (x-c)|f triviaalisti.

Sivu 107, rivi 3: g eri kuin 0.

Sivu 112, rivi 9: Ei "(1,alpha,...,alpha^(n-1)) on K-vektoriavaruuden L kanta", vaan
 "(1,omega,...,omega^(n-1)) on K-vektoriavaruuden L kanta".

Luentopäiväkirja

Pe 23.1.: Kurssin kotisivulle lisätty luentomateriaalin sisällysluettelo. Samoin lisätty 1. harjoitustehtävien ratkaisut. Luennoilla ehdittiin sivulle 20 kohtaan "Tutkitaan N:n äärell.
 osajoukkoja." Induktiotodistuksista korostettiin, että vaikka niissä päähuomio olisikin
 väitteen P( n) sisällössä kullakin n\in N, niin todistuksen muotoilussa on kuitenkin muistettava, että siinä on kyse indekseistä n\in N: "Osoitetaan P( n), kun n=0. Olkoon n\inN. Oletetaan P( n) . Osoitetaan P(n+1)."

Ma 26.1.: Alettiin käsitellä sivun 22 Lausetta 13 yhtämahtavien äärellisten joukkojen välisistä kuvauksista (eli siihen asti päästiin). Luentopäiväkirjan edellä aloitettiin luentomateriaalissa huomattujen painovirheiden lista.

Ke 28.1.: Käsiteltiin äärellisiä joukkoja, tulojoukkoja ja relaatioita, ja kaikkia näitä myös lukumäärien kannalta. Ehdittiin sivulla 26 olevaan osittaisjärjestyksen määritelmään asti. Keskiviikkojen tapaan jaettiin seuraavan viikon harjoitustehtävät.

Pe 30.1.: Käsiteltiin (osittais)järjestykset ja äärettömät joukot sekä aloitettiin
 ekvivalenssirelaatioiden käsittely sivun 30 implikaation b) -> c) todistus viimeisenä asiana. Sivun 28 Huom. a):lle annettiin todistus (jos A on luonnollisten lukujen joukon N
 ääretön osajoukko, niin saadaan bijektio g: N->A asettamalla g( n) olemaan pienin A:n alkio, joka ei ole muotoa g(k) millään luonn. luvulla k<n; tietysti g on injektio; jos g ei ole surjektio, niin valitsemalla A:n alkio, joka ei ole g(N):ssä, saadaan g(N):lle yläraja, joten g(N) on äärellinen, mikä on mahdotonta). Harjoitustehtävän 3:5 ohjeen viimeinen virke viittaa tähän "korkeintaan numeroituvien" joukkojen karakterisointiin, mutta sitä kautta ei ole pakko mennä.

Ma 2.2.: Valitan, että muistin panna 3. laskaritehtävät verkkoon vasta perjantaina illansuussa. Luennoilla käsiteltiin ekvivalensseja ("samankaltaisuus jonkin tietyn ominaisuuden suhteen") ja osituksia ("mikä kyseinen ominaisuus sitten on? - se yksikäsitteinen luokka, johon alkio kuuluu") sivun 32 Lauseeseen 17 saakka.

Ke 4.2.: Ekvivalenssien ja ositusten vastaavuus osoitettiin bijektiiviseksi. Kokonaislukujen joukko laskutoimituksineen ja järjestyksineen määriteltiin. Jaollisuusrelaation | ominaisuuksia (s. 36) alettiin todistaa.

Pe 6.2.: Kokonaislukujen jakoyhtälö ja syt käsiteltiin; Aritmetiikan peruslause (s. 40) esiteltiin.

Ma 9.2.: Alkutekijähajoitelma ja algoritmi sen etsimiseksi (s.41).

Ke 11.2.: Eratosteneen seula, kokonaisluvut mod n, kongruenssien ja Diofantoksen yhtälöiden
 ratkaiseminen (sivun 45 loppuun asti).

Pe 13.2.: Kiinalainen jäännöslause, laskutoimitukset joukoissa, monoidit, potenssit.

Ma 16.2.: Monoidin alkion kääntyvyyden ja ryhmän määritelmät; esimerkkejä sivun 52d) viimeisenä. LUENNOLLA KYSELY KORVAAVASTA 1. KURSSIKOKEESTA: ilmeni 2 sellaista tarvitsevaa lisää. Ottakaa kiiruusti yhteyttä, jos ette pääse varsinaiseen kurssikokeeseen ke 25.2. klo 13-15 ja kertokaa samalla syy sekä muut ajankohdat, jotka eivät kävisi.

1. KURSSIKOE KE 25.2.2009 KLO 13-15! KOEALUE: Luennoista viimeisenä luku III.0 (Laskutoimitukset ja monoidit) eli sivun 50 loppuun asti sekä 1.-5. harjoitukset.

Ke 18.2.: Ryhmien perusominaisuudet aliryhmän määritelmä (s. 56) mukaanluettuna.

Pe 20.2.: Esimerkkejä aliryhmistä, aliryhmäkriteeri, osajoukon virittämä aliryhmä. Syklisten ryhmien rakennetta koskeva Lause 7 (s. 59) esitettiin, mutta ei vielä ehditty todistaa.

Ma 9.3.: Syklisten ryhmien rakenne, ryhmän alkion kertaluku, ryhmähomomorfismit sivun 61 logaritmiesimerkki viimeisenä.

Ti 10.3.: Tiedotan, että Erik Elfving on nyt arvostellut 1. kurssikokeen (sen molempine korvaavine kurssikokeineen); tehtävät, ratkaisut ja arvostelukommentit ovat ilmoitustaululla
 ja kurssin kotisivulla vielä tänään.

Ke 11.3.: Homomorfismit ja isomorfismit loppuun; vasen H-sivuluokka aH sivun 65 alussa määriteltiin. Uudet laskaritehtävät valmistuvat vasta torstaiaamuksi.

Pe 13.3.: Vas./oik. H-sivuluokat, Lagrangen lause, Fermat: sivulle 68 asti.

Ma 16.3.: Lagrangen lauseen seurauksia; normaalit aliryhmät: määrittely, karakterisointi
 ja esimerkkejä Ker(f) s. 70 viimeisenä. LASKARILISÄPISTEISTÄ TIETO KOTISIVULLE (kun huomattiin kysyä; kiitos!).

Ke 18.3.: Tekijäryhmät, homomorfialause, "syklisen ryhmän kuva on syklinen" (s. 73).

Pe 20.3.: Sykliset ryhmät loppuun. Luvut neliön symmetriaryhmästä eli diedriryhmästä D_4 sekä julkisen avaimen salakirjoituksesta sivuutettiin (s. 75-78). Renkaat määriteltiin. Boolen renkaiden esimerkki (s. 80) viimeisenä.

Ma 23.3.: Lisää rengasesimerkkejä; renkaan yksikköryhmä s. 81 loppuun. (Huomattiin, että a_n virittää syklisen ryhmän (Z_n,+) joss a_n on jäännösluokkarenkaan Z_n yksikkö.)

Ke 25.3.: Renkaan aritmetiikkaa ja alirenkaat rengashomomorfismeihin (s. 85) asti.

Pe 27.3.: Rengashomomorfismit ja -isomorfismit. Ideaalit ytimen ideaalisuus (s. 88) viimeisenä.

Ma 30.3.: Tekijärenkaat ideaalien suhteen ja rengashomomorfialause. Eulerin funktion arvojen laskemisen palautus arvoihin alkulukujen potensseilla (sivu 91, rivi 1).

Ke 1.4.: Kokonaisalueet, karakteristika. Kunnan määritelmä.

Pe 3.4.: Alikunnat. Kokonaisalueen osamääräkunta; osittelulain tod. (s. 98).

Ma 6.4.: Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktio loppuun. Muodollisten potenssisarjojen
 joukon rengasominaisuuksien todistuksessa *:n neutraalialkio viimeisenä (s. 100, rivi 1).

Ke 8.4.: Polynomirenkaat. Polynomien jaollisuus ja 1. esimerkki (s. 104).

Pe 17.4.: Polynomien jakoyhtälö ja nollakohdat kuntakertoimisiin polynomirenkaisiin (s. 108) asti.

Ma 20.4.: Kuntakertoimiset polynomirenkaat: ideaalit pääideaaleja, syt(f,g):n olemassaolo ja määrittäminen, lause polynomin jaottomuudesta eräissä tapauksissa (s. 109 loppuun).

Ke 22.4.: Polynomin alkutekijöihinjako. Kuntalaajennus jaottoman (pää)polynomin suhteen. Äärelliset kunnat. (Luentomateriaali käsiteltiin loppuun. Mutta ks. pe 24.4. alla.)

Pe 24.4.: Käsiteltiin ylimääräiset 12. harjoitustehtävät ja kurssimateriaalin lisäsivusta (luentosivujen 1-113 perässä) jaottomien reaalilukukertoimisten polynomien karakterisointi.