Luentopäiväkirja (Mataja 2017)

Tässä kerrotaan karkeasti etukäteen, mitä luennoilla suunnitellaan käsiteltäväksi tai tehtäväksi, ja jälkikäteen, mitä käsiteltiin tai tapahtui; toisinaan tänne tulee lisämateriaalia (etu- ja/tai jälkikäteen).

Pykälä-, kohta- ja sivuviittaukset ovat tämän kevään tekstimateriaaliin (tai joskus, sen ollessa vielä julkaisematta, viime kevään materiaaliin). 

• Ma 16.1.: Kurssin esittely, työskentelymenetelmistä keskustelua, kurssikokeista sopimisen alku. Mahdollinen ohjaus ja viimeinen harjoitus ovat vielä hieman avoimia.
  
  Oli pyydetty selvittämään muut tentit yms. viikoilla 10 ja 19. Edelliselle saatiin nyt ehdolle ma klo 9.15 ja 12.15 sekä ke klo 12.15. Jälkimmäistä vaikutti liian varhaiselta kaavailla muuten kuin että 2. kurssikoe olisi viikon 19 alkupuolella.

  ---

  Aloitettiin asiasisältö: Yhden muuttujan funktioiden integraalilaskennasta tarkasteltiin peruskäsitteitä 'integraali' ja 'integraalifunktio'. (Lähes kaikille ne olivat aika tuttuja esim. koulusta.) Asiaa lähestyttiin historiallisesta näkökulmasta --- geometristen joukkojen pinta-alan määrittely ja määrittäminen ulko- ja sisämonikulmioiden avulla!
  
  Katso erittäin tiivis esitys (pdf) muun muassa joidenkin integroimiseen liittyvien käsitteiden suhteista.
  
  

• Ti 17.1.: Voidaanko kurssikokeet jo sopia (lukuun ottamatta salin varmistusta)? Ei, mutta salien "yhtenäisyys" kaavailtuina ajankohtina on varmistettu ja ehdotukset lähetetty s-postissa kaikille tähän mennessä ilmoittautuneille (joita oli 2 enemmän kuin eilen).
  
  Asiasisällöstä kerrattiin ja jatkettiin eilisiä käsitteitä --- yleisön pyynnöstä aloitettiin integraalifunktiosta; integraalia ei vielä ehditty. Kerrattiin Integraalilaskennan peruslause syksyltä (todistuksia varten) ja päästiin suunnilleen sivun 2 loppuun.

• To 19.1.: Onko kurssikokeet jo sovittu? S-postiin ei ollut tullut ilmoituksia esteistä, mutta olivatko kaikki jo lukeneet viestin? Odotetaan vielä hieman.
  
  Määrätystä integraalista (Riemannin integraali) kerrattiin kohdan 1.29 määritelmät, nyt teknisesti, ja katsottiin Integroituvuustestiä (lause 1.33) ja lausetta 1.35. Huomaa: Itse integraalin määritelmää ei ole vielä esitetty! Kaikki funktiot eivät ole integroituvia: esimerkkinä  f: [0,1] → R,  joka saa arvon 1 rationaalipisteissä ja arvon 0 irrationaalipisteissä!
  
  Havainnollisesti sanoen on (rajoitetun funktion) integroituvuudessa kyse siitä, voidaanko funktion kuvaaja peittää yhteispinta-alaltaan mielivaltaisen pienellä suorakulmioketjulla vai eikö voida - valitsemalla sopiva jako! Tässä kunkin suorakulmion kantana on osavälin pituus (kyseisessä jaossa) ja korkeutena funktion "vaihtelu" osavälillä (maksimin ja minimin - tai supremumin ja infimumin - erotus).
  
  Muuten lähinnä käsiteltiin integroimisen peruskaavoja (kohta 1.6) ja osittaisintegrointia (kohta 1.10) esimerkkeineen.

• Ma 23.1.: Kussikoe 1 valiutui olemaan ma 6.3. klo 12–15, ja luennon väliajalla saatiin varatuksi sali (13).
   
  Puhuttiin integaalikäyristä (1.8) — johdannoksi kurssin differentiaaliyhtälöasialle --- ja esimerkistä 1.9, jossa esitettiin myös toinen, lyhyempi, tapa: välien x≤1 ja x>1 sijasta saatettiin tarkastella välejä x≤1 ja x≥1 (mikä paljon helpotti kahtakin kohtaa). Esiteltiin muuttujanvaihto (sijoituskeino, 1.12) sekä käsiteltiin esimerkit 1.13 ja 1.14.
  
  Huomaa integraalifunktioista: (1) sellaisia ei kaikilla funktioilla ole, (2) vaikka olisikin (kuten välin jatkuvilla funktioilla aina on), integraalifunktiot voivat olla olematta ns. alkeisfunktioita, (3) jos sattuu arvaamaan tai keksimään (tai jopa jotakin kurssin menetelmää epämääräisesti tai virheellisesti soveltamalla saamaan)  lupaavan ehdokkaan integraalifunktioksi, kysymyksen, onko se oikeasti vai eikö ole, voi ratkaista derivoimalla! 
  
  Näistäkin puhuttiin, paitsi että esimerkki kohtaan (2) olisi vaikka f: R→R, jolle f = exp(-x²). Tällä ei ole alkeisfunktiota integraalifunktiona! 
  
   
• Ti 24.1.: Ensin puhuttiin yllä olevasta huomautuksesta ja todettiin, että eilen käsitelty esimerkki 1.13.i vaatii täydennykseksi lopputuloksen derivoinnin (koska kohdan 1.12 oletukset eivät kokonaan ole voimassa)!
  
  Rationaalifunktioiden integrointi, kohta 1.15, — lähinnä: osamurtokehitelmät — käsitellään kurssillamme hyvin kursorisesti. (Alku siitä oli eilinen esimerkki 1.14.)
  
  Osamurtokehitelmiä katsotaan lähinnä esimerkein: vilkaistiin kohta 1.15 läpi ja käsiteltiin esimerkit 1.17.i ja ii. 
  
  Tiistaitäky: Hyppäysepäjatkuvuus: esimerkki 1.5.ii — konstruoitiin funktio, jolla ei ole integraalifunktiota välillä R (syynä itse asiassa em. hyppäysepäjatkuvuus).
  
  Täkynä toki myös ohjaustunti heti luennon jälkeen! 
   

• To 26.1.: Annettiin lisää vihjeitä 1. kotitehtäviin. Esimerkeistä 1.17 katsottiin (toiveiden mukaan?) vielä kohtaa iv. Korostettiin muun muassa edellä näkyvän huomautuksen kohtaa (3).
  
  Myös aihe Palauttaminen rationaalifunktioon (1.18) käsitellään lähinnä esimerkein (joita katsottiin muutama varsinkin kohdasta 1.24).
  
  Huomattiin, että termin 'integraalifunktio' sijasta (samassa merkityksessä) kannattaisikin ehkä käyttää termiä 'antiderivaatta', koska silloin merkitys voisi olla helpompi muistaa!
  
  Esitettiin, selitettiin ja todistettiin Integraalilaskennan väliarvolause sekä Analyysin peruslauseesta osa I. Käsiteltiin siis sivu 22. Verrattiin sivun 17 kuvaan ja annettiin esimerkki, jossa derivaatta (integroinnin ylärajan  x  suhteen) lausekkeesta  ∫_a^x f(t) dt  oli paljon helpompi laskea käyttäen lausetta APL/I kuin "perinteisesti" ensin laskemalla integraali (APL/II:n avulla) ja sitten derivoimalla! 
  
  Huomaa: Itse integraalin määritelmä esitetään vasta, kun harjoituksissa (pe 27.1.) on käsitelty ylä- ja alasummia!
• Ma 30.1.: Nyt oli aika jatkaa Riemannin integraalin, "määrätyn integraalin", määrittely loppuun. Katsottiin kaikkia teknisiä käsitteitä ja selitettiin lauseiden todistusten ideoita; päästiin lauseeseen 1.35 asti. (Esimerkki 1.34 on oleellisesti jo korvattu kotitehtävissä mutta sitäkin vilkaistiin.)
  
  Funktion  f  integroituvuudessa on kyse siitä, onko sen alasummien joukon ja yläsummien joukon välissä "rako" (pos.pituinen väli) vai eikö ole! Katsottiin kahta ennestään (luennoilta ja harjoituksesta: h1/t1) tuttua esimerkkiä, joista yhdessä oli rako (pituudeltaan 1) — funktio siksi ei ollut integroituva — ja toisessa ei ollut rakoa — funktio siksi oli integroituva (ja h1/t1:n funktiolle  ∫_0^2 f(x) dx = 2). 
  
  Kysymyksiä ei ollut mielessä valmiiksi mutta syntyi jonkin verran.

• Ti 31.1.:  Tiistaitäky: Oletko aina halunnut tietää, miksi toimii menetelmä, jolla on usein hyvin helppo laskea monenlaiset määrätyt integraalit? Esitimme Analyysin peruslauseen osan II todistuksen — joka on sinänsä hyvin lyhyt ja yksinkertainen! (Taustalla on toki syksystä Integraalilaskennan peruslause ja Bolzanon lause, joita käytettiin APL:n osan I sekä lauseen 1.3 ja Integraalilaskennan väliarvolauseen — myös lyhyissä — todistuksissa.)
  
  Esitettiin myös osittaisintegrointikaava ja (sijoituskeino eli) muuttujan vaihto Riemannin integraalissa.
  
  Lopuksi palattiin hetkeksi antiderivaatan (eli integraalifunktion) etsintään: Vielä aihe Trigonometristen funktioiden integrointi (1.25) käsitellään lähinnä esimerkein (varsinkin kohdasta 1.27).

• To 2.2.:   Jatkettiin esimerkistä 1.44.i, jossa oli mielenkiintoinen tapaus ajatellen muuttujan vaihdon oletuksia: toimivat toiseen suuntaan, eivät toiseen! (Mutta yksi suunta tässä riittää.) 
  
    Pykälä Määrätyn integraalin sovelluksia käsiteltiin aika nopeasti, painottaen periaatteita, lauseiden oletuksia ja "nyrkkisääntöjä" kaavojen muistamiseksi. (Laskettiin pinta-aloja — tasomaisia ja kaarevia — sekä tilavuuksia ja "käyrän" pituuksia.). 
   
  Aloitettiin pykälä Epäoleelliset integraalit. (Sen piiriin esimerkin 1.51 käsittelykin jo itse asiassa kuuluu.) Tässä teoriassa on runsaasti yhteyksiä sarjateoriaan! 
   
• Ma 6.2.: Hieman kerrattiin edellisen luennon asiaa, mm. p alattiin sen kahteen viimeiseen esimerkkiin (1.51 ja 1.53). Näistä ensin mainitussa itse asiassa jo esiintyi "varkain" epäoleellinen integraali, ja siitä puhuttaessa tulivat esille monet ko. teorian ydinasiat. (Jälkimmäisen esimerkin yhteydessä problematisoitiin vanha käsite käyrä ja todettiin, että polun pituudesta puhuttaessa lauseen 1.52.b oletus injektiivisyydestä voidaan poistaa.) 
  
  Epäoleelliset integraalit -pykälän varsinainen käsittely jatkui huolellisessa ja rauhallisessa hengessä (kuten se kokonaisuudessaan aiotaan käsitellä). 
  
  Tarkasteltiin vasta yhden rajan suhteen  eo. integraaleja. Perusmääritelmien ja -esimerkkien jälkeen hypättiin Majoranttiperiaatteeseen ja Minoranttiperiaatteeseen (vielä ilman todistuksia). Kaiken kaikkiaan puhuttiin paljon yhteyksistä sarjateoriaan (jota samalla kerrattiin). 
  
  Nähtiin, että rajoittamattoman tasojoukon pinta-ala on joskus äärellinen...!
  
  

• Ti 7.2.: Tiistaitäky: Miksi oikeastaan Majoranttiperiaate toimii?!  Sarjateoriassa tai eo. integraalien teoriassa... 

Todistettiin lause 1.59 (jota katseltiin jo maanantaina) — ideoita havainnollistaen ja syksyä vähän kerraten. Huomattiin, että vielä näppärämpi/lyhyempi todistus saataisiin Analyysin peruslauseen osaa I käyttäen...! 

Käsiteltiin kohdasta 1.60 esimerkit i ja ii. Selitettiin, miten voidaan löytää sopiva majorantti tai minorantti.

• To 9.2.:  Määriteltiin  k ahden rajan suhteen epäoleelliset integraalit ja otettiin niistä esimerkkejä. 
  
  Käsiteltiin lisää esimerkkejä Majorantti- ja Minoranttiperiaatteiden käytöstä — ja "tekniikasta", jolla hyödyllisiä majorantteja ja minorantteja voi löytää. Erityisen antoisa oli esimerkki 1.60.v!  (Jälleen saatiin kerrata syksyn asioita.)
  
  Esimerkin 1.60.iv eo. integraaleja verrattiin vastaaviin sarjoihin (mihin kotitehtäväkin liittyy).
    
  Tiheysfunktioihin (sekä betafunktioon ja Eulerin gammafunktioon) palataan maanantaina.
• Ma 13.2.:  Luvun vaihtuessa vaihdamme nyt myös tyyliä. 
  
  Luvun 1 yhteydessä pureuduimme teoriaan hiukan syvemmälle
  ja annoimme jonkin verran kuvaa, miten käsitteet
  ja konstruktiot syntyvät ja toimivat — ja millaisia
  sudenkuoppia niissä voi olla.
  
  Perehdyimme esimerkiksi huolellisesti integraalin määrittelyyn
  ja integrointiin liittyvien käsitteiden suhteisiin;
  tarkastelimme joitakin hieman mutkikkaita tapauksia;
  kiinnitimme huomiota siihen, että lauseissa
  — ja myös määritelmissä — on oletuksia,
  joita ei saa jättää huomiotta;
  jouduimme kertaamaan monia asioita syksyn kurssista
  ja törmäsimme myös loogisen päättelyn kommelluksiin.
  
  On tärkeää saada kuvaa ja malleja esimerkiksi siitä,
  millaisia teoriarakenteita ja ajattelutapoja
  matematiikassa esiintyy — luoda valmiuksia — sen ohella,
  että perehdytään jonkin alan (kuten integrointiteorian)
  ilmiöihin sekä käytännön ajatteluun ja toimintaan
  
  ————————————————
  
  Nyt luvun 2 yhteydessä kuljemme pintaliitoa. 
  Joitakin esiintyviä käsitteitä (kuten jatkuvuus)
  ei ole (vielä) edes määritelty,
  joitakin (kuten joukon reuna) kyllä määritellään,
  mutta joudutaan jättämään käsittelyltään hataraksi.
  
  Kaksiulotteisessa tapauksessa jotkin asiat
  ovat helppoja "laajennuksia" yksiulotteisesta,
  mutta jotkin asiat (kuten jatkuvuus, differentioituvuus,
  joukkojen rakenne) ovat oleellisesti monitahoisempia
  kuin yksiulotteisessa tapauksessa.
  
  Luvussa 2 keskitymme käytännölliseen ymmärtämiseen
  ja käytännöllisiin menetelmiin.
  
  Pidämme silti yllä huolellisuutta
  sekä päättelyssä että laskemisessa,
  siis myös sen muistamista, että oletuksia
  on katsottava — vaikka niiden merkitys
  olisikin vielä tarkkaan ottaen tuntematon.
  
  

• Luvun 1 lopusta keskusteltiin tiheysfunktioista sekä betafunktiosta ja Eulerin gammafunktiosta. Todettiin yhteyksiä esim. binomikertoimiin. Nähtiin myös satunnaismuuttuja, jolla ei ole odotusarvoa!
  
  Kysymyksiä ei kuulijoilla ollut (luvusta 1 muutenkaan).
  
  Luvun 2 aloitimme pykälästä Tasointegraalien laskeminen (käsiteltiin sivut 45 ja 46). Sen jälkeen katsoimme, miten tasointegraalin määrittelyn vaiheet muistuttavat yksiulotteista (ns. määrätyn integraalin) tapausta (sivulta 41 sivun 42 loppupuolelle).
  
  Keskustelimme iteroidun integraalin merkintöjen hajonnasta kautta kirjallisuuden ja integroimisjoukon reunan laadun merkityksestä.
   

Ti 14.2.: Tiistaitäky: Merkillisiä joukon reunoja ja tavallisia! Epämitallisia joukkoja ja mitallisia! 

Lisäksi esitettiin ja havainnollisesti perusteltiin Integroituvuustesti tasointegraaleille (käytännössä kertausta luvusta 1).

Määriteltiin tasointegraali yleisen rajoitetun joukon yli — ei vain suorakulmion.

—  Yhteensä on käytännössä päästy sivun 46 loppuun!

• To 16.2.: Kerrattiin alkuviikkoa. Esitettiin ja perusteltiin Tasointegraalin laskulause (lause 2.15). Käsiteltiin monta esimerkkiä ja mm. pohdittiin huolellisuutta loogikan laskuissa (kuten kahden joukon osoittamisessa samaksi, ekvivalensseissa — usein parhaiten eri suuntaisissa implikaatioissa erikseen). 
  
  Aloitettiin pykälä  Muuttujien vaihto tasointegraalissa. Jacobin determinantti.
• Ma 20.2.:  Muuttujien vaihto tasointegraalissa . Miksi Jacobin determinantti? Esimerkki 2.19 on konstikas! 
  
  Vm. esimerkin avulla myös selitettiin suuntaa antavasti, miksi Jacobin determinantti kertoo pintamittojen paikallisen muuntumisen: Jatkuvasti derivoituvalle funktiolle g: B → A saadaan paikallisesti tietyssä mielessä (vrt. differentiaalikehitelmä syksystä ja myöhemmin keväästä) hyvä approksimaatio lineaarikuvauksella (2.19:ssä g oli itse lineaarinen ja antoi oman approksimaationsa), ja sellaiselle kertoo juuri determinantti (tässä Jacobin determinantti), missä suhteessa ko. lineaarikuvaus muuntaa (suorakulmioiden) alan; rajamielessä sama muuntosuhde pätee alkuperäiselle kuvaukselle g. Approksimointi on vastaavaa kuin miten tangenttitaso approksimoi paikallisesti funktion kuvaajaa (neliulotteisessa avaruudessa). Nämä asiat toimivat myös yksiulotteisessa tapauksessa (ja korkeampiulotteisissa). 
  
  Napakoordinaattimuunnos, joka on tärkein muuttujien vaihto tasointegraalissa. Esimerkit 2.21:ssa (jälkimmäiseen palataan).
• Ti 21.2.:  Tiistaitäky:  Pallokoordinaattimuunnos ja sylinterikoordinaattimuunnos! 
  
  Pykälässä  Avaruusintegraalit on laajalti ennestään (tasointegraaleista) tuttua, ja se voitaneen enimmäkseen käydä aika nopeasti. Osuus oli siten laajalti luonteeltaan kertausta ja tarjosi tilaisuuksia "vanhoista asioista kysymiselle". (Kysymyksiä ei käytännössä tullut.) Pallokoordinaatteihin syvennyttiin (mm. selitettiin, miten ne syntyvät/miten ne muistaa), sylinterikoordinaatit mentiin hyvin pikaisesti.
  
  Sekä pallo- että sylinterikoordinaattimuunnoksen pohjana on tason napakoordinaattimuunnos, joka kannattaa siksi hallita hyvin!
   
  Edelliseen pykälään palattiin keskiön odotusarvoaspektin takia: esimerkki 2.21.ii.
  
  
• To 23.2.: Onko pallo- tai sylinterikoordinaateista kysyttävää? Kerrattiin napakoordinaatteja ja siltä pohjalta pallo- ja sylinterikoordinaatteja. Erinäisiä kaavakuvia piirrettiin. Jacobin determinanttien laskeminen? Siitä puhuttiin (esim. kehittäminen pitkin riviä tai saraketta). Katsottiin esimerkkejä sivuilta 52–60 vielä hieman.
   
  Pykälä Epäoleelliset taso- ja avaruusintegraalit aloitettiin (mm. tekstin sivu 61). (Pykälään ei enää käytetä paljon yhteistä aikaa.)
   
• Ma 27.2.: Katsottiin vielä sivuja 61 (kertausta) ja 62 huolellisesti. Näillä esitetään (lukuisista mahdollisista) kaksi tyyppiä epäoleellisia tasointegraaleja. Loput luvusta 2 mentiin hyvin kursorisesti (ja jätettiin kunkin oman kiinnostuksen varaan).
  
  Esitettiin yleiskatsaus luvun 3 teemoihin ja tärkeimpiin ilmiöihin.
  
  Sitten aloitetiin 3. luvun käsittely katsomalla, mitä uutta Yleistä-pykälässä ihmisille oli.
  
  Tämän jälkeen tutustuttiin jatkuvuuden ja raja-arvon määritelmiin. Jälkimmäisen kannalta tuli oleelliseksi käsite  "pistettä  x_0  voidaan lähestyä pitkin joukkoa  B"  eli  "piste  x_0 on joukon  B  kasaantumispiste".  Tutustuttiin myös joukon erakkopisteen käsitteeseen — joka on joukon kasaantumispisteen vastakohta! (Näissä on huomattava myös, että  A:n erakkopiste on aina  A:n piste, mutta  A:n kasaantumispiste voi kuulua tai olla kuulumatta  A:han.) Päästiin lauseeseen 3.9 asti.
   

• Ti 28.2.:  Tiistaitäky:  Miksi 2-ulotteisessa tapauksessa ei päde " Jos pistettä  x_0  lähestyttäessä saadaan kaikista suunnista sama raja-arvo, niin raja-arvo on olemassa .", vaikka se pätee 1-ulotteisessa tapauksessa?! 
   
  Osoitettiin (esimerkin 3.12.i avulla), että ilmiö on olemassa, ja selitettiin, "miten se on mahdollinen":  miksi  R¹:n  todistus ei toimi  R²:ssa  (pohjimmiltaan, koska positiivisten lukujen infimum voi olla nolla, jos lukuja on äärettömän monta).
  
  Pohditiin raja-arvoja (ja jatkuvuutta) muutenkin. Hiukan kerrattiin maanantaista, toisaalta mentiin eteenpäin. Esimerkkiin 3.13 palataan. (Siitä puhuttiin vasta nopeasti.)
  
  
• To 2.3.: Kurssikokeeseen kertausta. Kokeeseen kuuluu harjoitusten 1–6 alue (sivun 68 keskivaiheille asti, osa kursorisesti, ja Luentopäiväkirja).  Käytiin läpi kurssin asioita ja painotuksia sekä ratkaistiin esimerkkitehtäviä aiemmista kokeista. (Nykykokeissa aihealueen painotukset hieman poikkeavat, mutta laajalti vanhat tehtävät antavat kuvaa. Korostettiin ratkaisujen perustelun merkitystä, mm. oletusten todentamista.) 

Keskusteltiin kokeen apuvälineistä, ks. kurssin pääsivun Kokeet-kohta! Osa säännöistä oli annettu, osasta (erityisesti taulukoista) päätettiin yhdessä. 
 
Lisäksi: Keskusteltiin "toisen kurssikokeen ajasta viikon 19 alkupuolella, tarvittaessa ko. viikolla myöhemmin,  — valmistaudu! — ja ohjausajasta.  (Sekä työmenetelmistä?)"  Tuloksista katso Ajankohtaista-kohta!

Seuraavan koekertauksen yhteydessä ei liene keskusteluasioita, ja voitaneen tarjota enemmän esimerkkiratkaisuja.

• Ma 13.3.: Kurssi jatkuu normaalissa viikkorytmissä. Harjoituksia on periodissa IV sen 7 viikolla (mutta huomaa pääsiäisloma). 
  
  Jatkettiin asiaa tiistaista 28.2. (jota oli kai tarpeen kerratakin — kurssilaiset eivät olleet kerranneet itse).  Luvun 3 alun varsin laajan kertauksen jälkeen käsiteltiin esimerkit 3.13.i ja ii huolellisesti. Moniulotteisen raja-arvon käsitteen (uusia) piirteitä mietittiin lisää, lähestymisestä pitkin joukkoa (kasaantumispisteistä) puhuttiin, yms.!  Jatkuvuudesta alettiin tutustua perustuloksiin (kuten jatkuvuuden käsittelyyn raja-arvojen avulla, 3.14) ja todistettiin varsinkin projektioiden jatkuvuus, 3.13.iii. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus; esimerkki 3.20 alustavasti.
  
  Kotitehtävien takia hypättiin esittelemään myös käsite gradientti.  (Osittaisderivaatat ovat oikeastaan kertausta.)

• Ti 14.3.:  Tiistaitäky:  Tasofunktion (mahdollisen) raja-arvon tutkimisessa on toisinaan hyödyksi käyttää napakoordinaatteja. Se on kuitenkin tehtävä oikein: Annoimme (hämmästyttävän?) esimerkin, jossa napakoordinaatteja käyttäen tulee virhe, jos toimii taitamattomasti!  "Taitavuus" on sitä, että hävittää napakoordinaatin  φ  ennen  r-rajankäyntiä, "taitamattomuus" sitä, että lähestyykin vain suunnista  φ (pitkin (puoli)suoria, mikä todettiin riittämättömäksi jo kaksi viikkoa sitten).  (Esimerkissä pitkin  φ-suuntia tuli raja-arvo  0, mutta funktiolla ei kuitenkaan ollut raja-arvoa pitkin tasoa sinänsä.  Esimerkissä luvulle  ε>0  kelpaava  δ>0  saisi olla korkeintaan  φ·ε  yhtaikaa kaikille  φ  välillä  ]0,2π], mikä on mahdotonta.) 
  
  Esimerkkifunktio oli yksinkertaisesti  f: R² → R,  jolle  f(r cos φ, r sin φ) = r/φ,  kun  r≥0  ja  0<φ≤2π.
  
  Muuten jatkettiin jatkuvuuden perusasioista: esimerkistä 3.20 pykälän loppuun.  Huomautettiin vielä sivun 70 rationaalifunktio-esimerkeistä, että niissä kaikissa tutkittiin raja-arvoa nimittäjän nollakohdassa — joka oli samalla osoittajan nollakohta. Esimerkin 3.22.i faktaa ei voinut käyttää — ja raja-arvon status olikin mitä moninaisin! 
    
  Luennon ja ohjauksen välissä puhuttiin — yleisön pyynnöstä — käydystä kurssikokeesta, koska yleisöä oli melko runsaasti. Yksi harmillinen virhe oli aika yleinen: itseisarvomerkkeihin suhtauduttiin derivoinnissa (ja jopa "sijoituksessa") kuin ne olisivat sulkeita... Yleisestihän ei kuitenkaan päde, että esim. D|f| olisi |D f|...!
  
  

• To 16.3.: Syvennettiin gradienttiasiaa (ja osittaisderivaattoja) ja esiteltiin tärkeä differentioituvuuden käsite (nyt usean muuttujan funktioille; kohta 3.36). Tästä jatketaan seuraavalla viikolla, vaikka puhuttiinkin jo lauseesta 3.39 sekä muutenkin käsitteiden suhteista (sen jälkeiset huomautukset). Matkalla kohdattiin mm. derivaattaoperaattoreita, funktioavaruuksia (3.29), Hessen matriisi  ja neliömuoto.
  
  
• Ma 20.3.: Jatkettiin differentioituvuudesta ja differentiaalikehitelmästä, lähinnä reaaliarvoisille funktioille. Puhuttiin taas määritelmän (perus)oletuksista, joita ilman ei käsitteestä tai ominaisuudesta puhuminen ole mielekästä. Todistettiin, että differentioituvuudesta (sisä)pisteessä  x_0  seuraa sekä jatkuvuus että derivoituvuus  x _0:ssa  (jotka kaksi ominaisuutta eivät moniulotteisessa tapauksessa enää riipu toisistaan) — itse asiassa derivoituvuus kaikkiin suuntiin! Pohdittiin seurausta 3.42, jonka idea on myöhemmin tärkeä. 
  
  Haluttiin ymmärtää tasa-arvojoukot (s. 81): katsottiin perusteellisesti (mm. myös kuvin) 2 muuttujan "omaa" esimerkkiä (jossa  f(x,y) = x² – y,  tasa-arvojoukot paraabeleja); 3 muuttujan esimerkkiin 3.44 palataan. Luotiin nopea katsaus pykälän loppuun (otsikkoon 'Implisiittifunktiot' asti).
  
  
  
• Ti 21.3.: Tiistaitäky:  Tasofunktion tasa-arvojoukot "korkeuskäyrinä":  mitä gradientti kertoo funktion kuvaajasta (jota ei nähdä)?
  
  Se oli: Jatkettiin edellistä esimerkkiä funktiosta  f. Piirrettiin eri tasa-arvokäyriä ja niiden pisteisiin  f:n  gradientin arvoja (vektoreita).  Mietittiin  f:n  kasvun nopeutta eri suunnissa; mietittiin kuvaajaa, joka ei ollut näkyvissä!
  
  Katsottiin kohtia 3.44–3.48 hiukan tarkemmin kuin maanantaina. Esimerkiksi selitettiin Ketjusäännön ideaa (josta sen tarkan muodon voi muistaa). Varoitettiin sekoittamasta funktion kuvaajan mahdollista tangenttiavaruutta (-suoraa, -tasoa jne.) ja funktion tasa-arvojoukon mahdollista tangenttiavaruutta!  R¹-arvoisille funktioille edelliset sitä paitsi sijaitsevat yhtä korkeampiuloitteisessa avaruudessa kuin jälkimmäiset...
  
  
•   To 23.3.: Alussa käsiteltiin pykälä Implisiittifunktiot . Esimerkkiä 3.49 käytettiin havainnollistamaan monia asioita, mm. Implisiittifunktiolausetta 3.50. (Toinen esimerkki, F(x,y) = x – y³, osoittaa puolestaan, että Implisiittifunktiolauseen ehto tietyn osittaisderivaatan nollasta poikkeavuudesta ei ole välttämätön implisiittifunktion lokaalille olemassaololle.) Painotettiin merkinnän kuten  D_x  monitulkintaisuutta (ja sekoittamisen vaaraa): osittaisderivaatta vs. "kokonaisderivaatta". Puhuttakaan siitä, että tässä yhteydessä — vielä hankalammin differentiaaliyhtälöalalla — samalla symbolilla (esim.  y) usein merkitään samassa yhteydessä, jopa samassa kaavassa, kahta — "parhaimmillaan" kolmea — eri asiaa!
   
  Lopussa aiheena oli Neliömuodot ja niiden tyyppi, josta päästiin lähinnä merkintätekniset asiat esimerkkiä 3.55 myöten.
   
  Tilaisuuden sallittua puhuttiin myös "ulkoisista vaikutteista" viime harjoitusten kokemusten pohjalta (katso malliratkaisut). Tarkasteltiin myös hetki toisen kurssikokeen kellonajan säätämistä (salitilanteen takia) mutta pitäydyttiin ajassa, josta sähköpostissakin tiedusteltiin: to 11.5. klo 12–15 (sali 5).
• Ma 27.3.: Neliömuotojen tyypit ja annetun muodon tyypin määrittäminen erityisesti sen matriisin alideterminanttien avulla.  Painotettiin, että määritelmän 3.56 ehdot eivät moninkaan tavoin ole toisiaan poissulkevia ja että lauseessa 3.57 annetaan paljon ekvivalensseja, jolloin (determinantti- ja ominaisarvo)ehtoja voi käyttää kahteen suuntaan: esim. osoittaa, että jokin matriisi  A  ei ole definiititi ja jokin toinen matriisi  A  on definiitti.
  
  Aloitettiin luku 4, Konveksisuus ja optimointi.  Laajennettiin ja yleistettiin kuperuuskäsitteitä (konveksisuus, konkaavius; mahdollisesti vahva) syksyisestä (moniulotteiseen tapaukseen ja mahdollisesti epäderivoituville funktioille). Yksinkertaisena esimerkkinä laajennuksen hyödystä oli itseisarvonottofunktion, jossa  f(x)=|x|,  konveksisuus.  Päästiin toisen sivun puolivälin paikkeille: huomautusta 4.5.iii ei vielä käsitelty.
  
  
• Ti 28.3.: Tiistaitäky:  Hessen matriisi syksyisen toisen derivaatan  f ''  roolissa kuperuustutkimuksessa! 
  
  Rooli on hyvin läheinen, ks. lause 4.12, ja se auttaa muistamaan tuloksen.  (Pari eroakin huomattiin: nyt vaadimme toisen kertaluvun derivaatoilta jatkuvuutta ja sitä paitsi olemassaoloa koko konveksissa joukossa  S  (kun syksyllä riitti välin päätepisteissä toispuoleinen derivaatta) eikä nyt sallittu nollamittaisia poikkeuksia.)
  
  Tärkeää on ymmärtää, että lausetta 4.12 ei voi käyttää osoittamaan, että jokin funktio ei ole konveksi (tms.)!  Tässä lauseessa näet annetaan vain riittäviä ehtoja (yksisuuntaiset implikaatiot) — toisin kuin esim. lauseessa 3.57 (toisesta asiasta), jossa annetut ehdot ovat sekä riittäviä että välttämättömiä (kaksisuuntaiset implikaatiot, ts. ekvivalenssit). Ekvivalensseja kuperuuskäsitteistä annetaan kohdissa 4.7, 4.9 ja 4.11.  Luennolla asia oivallettiin!
   
  Muuta: Lisää uuden kuperuuskäsitteen etuja (huomautus 4.5.iii). Miten sekä miksi syksyn ja kevään kuperuuskäsitteet liittyvät toisiinsa? Tähän vastaavat kohdat 4.7, 4.9 ja 4.11 sekä niiden todistukset (jotka jouduttiin sivuuttamaan).  Syksyn mielessä konveksit ovat myös kevään mielessä konvekseja (yhteisissä tilanteissa).  Mutta keväällä on paljon uusia konvekseja yhden muuttujankin funktioita.
   
  Koska asioita jouduttiin kertaamaan arvioitua enemmän, ei ehditty vielä sivun 96 puolelle.
  
  
• To 30.3.: Hessen matriisin (lauseen 4.12) hyödyntämistä: lause 4.13 ja esimerkkejä 4.14.  Kerrattiin edellisistä luennoista mm. kuperuuskäsitteiden suhteita, lauseiden oletuksia ja ehtojen "yksi- ja kaksisuuntaisuuteen" liittyviä korostuksia (yleisö oli laajalti eri).  Selitettiin lauseen 4.12 todistusta. Todistettiin lause 4.13 ja käsiteltiin mainituista esimerkeistä huolellisesti varsinkin alkupuoli.
  
  Aloitettiin aihe Lokaalit ääriarvot (moniulotteisessa tapauksessa). Määritelmä 4.15 oli syksyn käsitteiden laajennusta. Lauseesta 4.17 korostettiin, että gradienttiehto on välttämätön muttei riittävä — ja sekin edellyttäen, että funktio on derivoituva ko. pisteessä.  Esimerkki 4.18.i jäi hiukan kesken, ja "sovittiin", että se katsottaisiin loppuun kotona tms.!
  
  
• Ma 3.4.:  Periaatteessa jatkettiin esimerkistä 4.18.ii eteenpäin. Koska kerrattiin monin tavoin ja paljon, ei vielä päästy aiheen Lokaalit ääriarvot loppuun. 
  
  Esimerkeissä oli paljon vaativia teknisiä yksityiskohtia. Yksi näistä on ekvivalenssien luotettava laatiminen. Ne eivät synny niin helposti kuin tekstistä voi näyttää... Joskus on tilanteeseen sopiva lause, joka kertoo, että ekvivalenssi pätee, joskus kyseessä on määritelmä (siis sopimus). Mutta usein on ekvivalenssi muodostettava itse — ja tällöin on eri suunnat ajateltava huolellisesti erikseen! 
  
  Toinen vaativa asia ovat logiikan kvanttorit tai kvantifioinnit (esim. "jollekin  δ"  tai "kaikille  δ";  δ = delta).  Niistä puhuttiin varsinkin lokaalin ääriarvokohdan määritelmän käyttämisen/kertaamisen yhteydessä. 

Viimeinen puhuttu asia olivat lauseen 4.22 jälkeiset huomautukset siitä, että (tietyin oletuksin) Hessen matriisin definiittisyys gradientin "nollakohdassa" takaa lokaalin ääriarvon ja indefiniittisyys päin vastoin, ettei kyseessä ole lokaali ääriarvokohta. Semidefiniittisyys jättää avoimeksi.

• Ti 4.4.: Pienen kertauksen jälkeen jatkettiin sivulta 102 aiheen Lokaalit ääriarvot  loppuun (kätevä lause 4.24, jos muuttujia on vain kaksi, sekä esimerkkejä, joiden laskutekniikan osalta muisteltiin edellistä päivää) ja aloitettiin aihe Globaalit ääriarvot (tai Funktion suurimman ja pienimmän arvon etsiminen annetussa joukossa).  Uusi, tärkeä käsite on kompaktisuus.
  
  
• To 6.4.: Käsiteltiin perusmenetelmää (s. 104) globaalien ääriarvojen etsimiseksi tapauksessa, jossa joukko on kompakti ja funktio on jatkuva sekä sisäpisteissä derivoituva. Aloitettiin myös Lagrangen menetelmän käsittely (aluksi ns. yhtälörajoittein). Todistettiin Kohtisuoran gradientin lause, kun oli ensin tutustuttu sen pitkään muotoiluun ja pohdittu asiaa kuvan avulla.
   
  Aivan aluksi kuitenkin pohdittiin esimerkkejä 4.28 (ja lausetta 4.27). Havaittiin esimerkiksi, että merkintä  S  "potenssiin  n–1"  voi olla harhaanjohtava: itse asiassa kyseessä ei ole potenssimerkintä (kuten vaikka  'R  potenssiin  n', joka viittaa  n-kertaiseen karteesiseen tuloon) vaan yläindeksin käytöstä  (osoittamaan pallon(kuoren) dimensiota — joka on yhtä alempi kuin koko avaruuden dimensio).
  
  
• Ma 10.4.: Lagrangen menetelmä / yhden yhtälömuotoisen rajoitteen tapaus. Esittely, perustelua Kohtisuoran gradientin lauseen avulla ("ensimmäinen havainnollistus") ja harjoittelua esimerkein (4.38.i ja ii). Korostettiin ehtojen pelkkää välttämättömyysluonnetta ja turvallista implikaatiokäsityötä.  

Aluksi kerrattiin taustaksi ainakin suunnattu derivaatta, tasa-arvojoukon tangenttiavaruus, B-lokaali ääriarvo ja Kohtisuoran gradientin lause.

• Ti 11.4.: Tiistaitäky:   Miten vuoristomaisema (korkeuskäyrästö — tasa-arvokäyrästö) auttaa ymmärtämään Lagrangen menetelmän toimivuutta (sivut 109 ja 112)?  Ts. "toinen havainnollistus" lauseen 4.36 idealle. Tämä vei paljon aikaa mutta oli selvästi ymmärrystä lisäävä!  (Samalla nähtiin myös, miten lauseen 4.36  antama ehto sidotulle ääriarvolle on — lauseen oletusten vallitessa — tosiaan vain välttämätön, ei riittävä.) 
  
  Käsiteltiin esimerkki 4.38.iii (epäkompakti tapaus). Kompaktisuuden puutteen takia olisi voinut olla, ettei minimiä ole, mutta tässä kuitenkin voitiin perustella, että on!  (Kompaktisuus on puolestaan riittävä muttei välttämätön ehto — jatkuvan funktion globaalin ääriarvon olemassaololle.)
  
  Aiheen Lagrangen menetelmä / usean yhtälömuotoisen rajoitteen tapaus aloitus oli erittäin lyhyt.  (Sivut 113 ja 114 ilmestyvät alustavina, lähes lopullisina, ennen luentoa.)
  
  
• To 20.4.: Katsaus luvun 4 lopun aiheisiin (s. 113). Käsiteltiin Lagrangen menetelmää usean yhtälömuotoisen sidosehdon tapauksessa (lause 4.39 ja esimerkit) sekä aloitettiin epäyhtälömuotoisten sidosehtojen tapaus: päästiin sivun 117 puoliväliin. "Optimointiongelma (4.41)". Lagrangen funktio. (Satulapisteestä ja Kuhnin–Tuckerin lauseesta puhuttiin silti myös, hyvin lyhyesti.) 
    
  Aluksi kuitenkin kerrattiin, esimerkiksi lausetta 4.36 (yksi yhtälömuotoinen sidosehto) ja sen havainnollista ymmärtämistä — sekä rajoituksia. Painotettiin lauseiden 4.36 ja 4.39 yhtälöryhmien pelkkää välttämättömyyttä  B-lokaalille ääriarvokohdalle. (Tämä välttämättömyyskin tietysti edellytti lauseiden perusoletusten voimassaoloa.) Kuhnin–Tuckerin lauseissa sen sijaan saadaan yhtäpitäviä ehtoja  B-globaaleille minikohdille! 
    
  Korostettiin lisää myös "luotettavaa ekvivalenssi- ja implikaatiotekniikkaa" ja harjoitettiin sitä käytännössä.
   
   
• Ma 24.4.: Satulapisteen käsite (määritelmä 4.48 ja karakterisointi 4.49). Riittävyys ja välttämättömyys. Kuhnin–Tuckerin lause 4.53 perustelupolkuineen (suuria osia sivuuttaen). Esimerkki 4.54 huomautuksineen. 
    
  Hypättiin hetkeksi luvun 5 alkuun: puhutiin vähän differentiaaliyhtälöistä. Korostettiin varovaisuutta: periaatteellisiakin virheitä ym. ongelmia esiintyy usein. OY-lauseeseen tutustuttiin ja esimerkin 5.9.i alkua vilkaistiin.
  
  
• Ti 25.4.: Katsottiin sekä esimerkkiä 4.58, joka harjoittaa Kuhnin–Tuckerin lausetta jatkuvasti derivoituville funktioille (sekä itse lause), että esimerkkiä 5.9.i, joka harjoittaa separointitekniikkaa (jota — vaaroineen — pohdittiin) ja Differentiaaliyhtälön  y' = f(x,y)  OY-lausetta.
  
  
• To 27.5.: Jatkettiin differentiaaliyhtälöistä. Osa asiasta piti käsitellä kursorisesti (erityisesti 5.9:n esimerkit iii–v, samoin suuri osa lineaaristen differentiaaliyhtälöiden teoriasta, jonka esitykseen on tiivistetty lisätietoa lineaarialgebran alkeista — ymmärtämisen tukemiseksi).  Esille tulivat kuitenkin lineaaristen differentiaaliyhtälöiden erityispiirteet ja niiden hyödyntäminen 1. kertaluvun tapauksessa (hiukan myös 2. kertaluvun tapauksessa — joka vain "tiedoksi").  Lineaariselle DY:lle: TY:n yleinen ratkaisu = HY:n yleinen ratkaisu + TY:n yksittäisratkaisu.  Yksittäisratkaisujen saamiseksi (1. kl) vakion variointi ja integroiva tekijä.
   
  Torstaitäky:  Onko esimerkissä  5.9.i  jo löydetty kaikki ratkaisut?
  
  Ei ollut. Lisää oli äärettömän monta! Muut paitsi erikoisratkaisu eivät itse asiassa olleet maksimaalisia: niihin saatettiin liimata vakiofunktio vasemmalle, pala erikoisratkaisua. (Näin saaduista ratkaisuista osoitettiin lopulta, ettei muita enää ole.)  Nyt lopputulos oli, että kaikki integraalikäyrät leikkasivat toisiaan – jopa äärettömän monessa pisteessä –  x-akselilla!  (OY-lauseen soveltuessahan näin ei voi käydä.)
  
  On huomattava, että ratkaisuista puuttui oleellinen osa, kun oli "noudatettu epämääräisiä ohjeita" — ja jätetty ajattelematta!

• Ti 2.5.: Käsiteltiin lyhyt luku Differenssiyhtälöistä.  Niissä on monia differentiaaliyhtälöiden kanssa samanlaisia piirteitä. Nyt lineaarialgebraa koskeva (kurssin esitietoja laajentava) osuus oli tiiviimpi kuin vastaava edellisessä luvussa, jolloin se saattoi toimia hyvänä kertauksena — tiivistelmänä! Sama pätee jossakin määrin koko lukuun: sen lukeminen voi auttaa paremmin ymmärtämään differentiaaliyhtälöasiaa.
  
  Lopussa oleva sivunpuolikas 2. kertaluvun vakiokertoimisista lineaarisista "on tiedoksi", ei kuulu tenttiin. (Sama pätee luvun 5 viimeisestä sivusta.)
  
  (Vappuna menetettyä luentoaikaa korvattiin osittain: luento jatkui väliajan jälkeen ohjausajan. Ohjaukseen ei ollut asiakkaita.)
  
  
• To 4.5.: Niin sanottu koekertaus ja keskustelu koealueen painopisteistä.