Reaaliluvut, kevät 2016 - Peruttu!

The [toc] macro is a standalone macro and it cannot be used inline. Click on this message for details.
This macro generates standalone content. As a consequence you need to make sure to use a syntax that separates your macro from the content before and after it so that it's on a line by itself. For example in XWiki Syntax 2.0+ this means having 2 newline characters (a.k.a line breaks) separating your macro from the content before and after it.

Kuvaus

Vaikka koulussa (ja lukiossa) ei reaalilukuja varsinaisesti määritellä formaalisti, jokaiselle koulun käyneelle on muodostunut osittain intuitiivisesti selkeä ja rikas käsitys reaaliluvuista. Reaaliluvut vastaavat lukusuoran pisteitä. Toisaalta reaaliluku on sama asia kuin desimaaliluku, eli mahdollisesti päättymätön jono, esim. 3, 14156...

Reaalilukuja voidaan laskea yhteen tai kertoa keskenään, suuruusjärjestyksen avulla niitä voidaan vertailla, positiivisista reaaliluvuista voidaan ottaa neliöjuuret ja niin edelleen. Nämä ja monet muut tutut reaalilukujen ominaisuudet tekevät reaaliluvuista erittäin tuttuja ja turvallisia otuksia.

Koulussa reaalilukuihin tutustaan vaiheittaan: aloitetaan luonnollisista luvuista, lisätään joukkoon negatiiviset kokonaisluvut, sitten murtoluvut ja lopuksi irrationaaliluvut. Viimeksi mainittujen olemassaoloa ei koulussa varsinaisesti perustella ja monet siihen liittyvät ongelmat lakaistaan maton alle. Oikeastaan irrationaalilukuihin turvaudutaan vain silloin, kun on pakko, eli esimerkiksi polynomiyhtälöjen ratkaisemisen yhteydessä (juuret) tai puhuttaessa sellaisista vakioista kuin luku 'pi' tai Neperin luku e.

Sen sijaan yliopistomatematiikassa opiskelijan eteen putoaa heti kättelyssä täysin erinäköinen formaali määritelmä reaaliluvuille. Reaalilukujen joukko onkin 'täydellinen järjestetty kunta', tietynlaisen aksioomaluettelon määräämä olento. Kaikki aksioomat ovat kuitenkin tuttuja reaalilukujen ominaisuuksia, lukuun ottamatta 'täydellisyysaksioomaa', jonka sisältämä väite on täysin uusi ja outo.

Tällainen uusi määritelmä herättää paljon kysymyksiä, joista ehkä suurimmat ovat seuraavat:

1) Mitä tekemistä tällä aksioomaluettelon määräämällä otuksella on koulusta tutun reaalilukujoukon kanssa?

2) Reaalilukujen aksioomat kattavat vain muutamia reaalilukujen tutuista ominaisuuksista. Missä muut ovat? Erityisesti missä ovat luonnolliset luvut, kokonaisluvut ja murtoluvut? Niitä ei aksioomissa mainita kertaakaan, lukuunottamatta lukuja 0 ja 1, joille löytyy hyvin vieraita abstrakteja määritelmiä 'neutraalialkioina'.

3) Mistä tiedämme, että reaalilukujen aksioomilla määritelty otus on oikeasti olemassa? Mikä ylipäätään antaa meille aiheen ajatella, että voimme määritellä asioita vain luettelemalla niiden ominaisuuksia?

4) Mistä tiedämme, että tällaisilla ominaisuuksilla varustettuja otuksia on vain yksi? (Ainakin intuitiivisesti tuntuu selvältä, että on olemassa vain yksi reaalilukujen joukko.)

Tällä kurssilla pyritään vastamaan ainakin joihinkin näistä kysymyksistä matemaattisen tarkasti ja pääpaino kurssilla on reaalilukujen olemassaolo- ja yksikäsitteisyysongelmassa. Konstruoimme otuksen, jolla on kaikki reaalilukujen määritelmässä mainitut ominaisuudet sekä näytämme, että tällainen otus on olennaisesti yksikäsitteinen. Samalla näemme, miksi tällä otuksella on muitakin tuttuja reaalilukujen ominaisuuksia. Näytämme muun muassa, miten aksiomaattisesti määritellyn reaalilukujoukon sisältä löydetään sellaisia tuttuja reaalilukujen osajoukkoja kuten luonnollisten lukujen joukko, kokonaislukujen joukko ja rationaalilukujen joukko, ja miksi jokainen reaaliluku on desimaaliluku.

Kurssilla käsittellään lisäksi muun muassa eksponentti- sekä trigonometrisia funktioita tarkemmin, kompleksilukuja sekä ajan puitteessa muita sekalaisia aiheeseen liittyviä asioita kuten vaikkapa p-adisia lukuja tai epästandardianalyysin alkeita.

Kurssi suoritetaan harjoitustehtävillä ja tentillä. Tentti voidaan korvata esitelmällä, joita on rajoitettu määrä ja josta sovitaan opettajan kanssa. Tarkempi tieto tulossa syksyn 2015 aikana.

Ajankohtaista

Opetusajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma ja to klo 12-14 salissa D123.

Pääsiäisloma 24.-30.3.

Kokeet

Kurssimateriaali

Tulossa tähän ennen kurssin alkua

Ilmoittaudu kurssille

 
Unohditko ilmoittautua? Katso ohjeet täältä!

Laskuharjoitukset

Harjoitustehtävät

• Tehtävät 1
• Tehtävät 2

Harjoitusryhmät

Palautetta kurssista

Matematiikan ja tilastotieteen laitoksella on käytössä jatkuva palautteen keruu eli voit antaa palautetta missä tahansa kohdassa kurssia. Palautelomakkeeseen pääset täältä.