Renkaat

Osaa tutkia, muodostavatko annettu joukko ja laskutoimitus ryhmän.

Osaa tutkia, onko annettu osajoukko aliryhmä vai ei.

Hahmotttaa, että aliryhmä ja aliavaruus ovat molemmat algebrallisen rakenteen alirakenteita.

Osaa tutkia, onko annettu osajoukko alirengas vai ei.

Tietää, kuinka kokonaisluku tulkitaan renkaan alkioksi.

Osaa tutkia, onko annettu rengas kunta tai kokonaisalue.

Hahmottaa renkaiden, kuntien ja kokonaisaluiden keskinäisen hierarkian.

Yhdistää renkaan määritelmän ehdot ryhmän määritelmän ehtoihin.

Ymmärtää, miksi alirenkaan määritelmästä seuraa, että alirengas on rengas.

Hahmottaa, että on olemassa yleinen alirakenteen käsite, josta esimerkkejä ovat aliavaruudet, -ryhmät ja -renkaat.

Polynomit

Osaa summata ja kertoa reaalikertoimisia polynomeja.

Tuntee polynomin juuren ja asteen määritelmät.

Pystyy käsittelemään polynomeja myös silloin, kun kerroinrengas on jokin muu kuin reaalilukujen rengas.

Osaa tulkita polynomin kokonaislukukertoimet kerroinrenkaan alkioiksi.

Osaa määrittää polynomin juuret ja tietää, kuinka niiden avulla voi etsiä polynomin tekijöitä.

Ymmärtää, mikä ero on polynomilla ja polynomikuvauksella.

Osaa tutkia annetun polynomin jaollisuutta yksinkertaisissa tilanteissa.

Tekijärakenteet

Pystyy määrittämään annetun aliryhmän sivuluokat.

Osaa tarkistaa, ovatko annetut sivuluokat samoja.

Osaa tarkistaa, onko aliryhmä normaali.

Osaa laskea sivuluokilla ja määrittää tekijäryhmän kertotaulun.

Ymmärtää, että tekijäryhmiä voi määrittää vain normaalien aliryhmien suhteen.

Hahmottaa tekijäryhmän ryhmänä ja osaa käsitellä sen alkoita kuten muidenkin ryhmien alkioita (esim. määrittää käänteisalkioita ja potensseja).

Tietää, että renkailla normaaleja aliryhmiä vastaavat ideaalit.

Homomorfismit

Osaa määrittää osajoukon kuvan ja alkukuvan annetussa kuvauksessa.
Osaa osoittaa kuvauksen lineaariseksi tai näyttää, että se ei ole lineaarinen.

Tuntee lineaarikuvauksen ytimen ja kuvan määritelmät. Tietää niiden yhteyden kuvauksen injektiivisyyteen ja surjektiivisuuteen.

Osaa tutkia, onko annettu kuvaus ryhmäisomorfismi.

Ymmärtää ryhmäisomorfismin määritelmän yhteyden siihen, että kahdella ryhmällä on samanlainen kertotaulu.

Osaa tutkia, onko annettu kuvaus homomorfismi tai isomorfismi.

Osaa määrittää homomorfismin ytimen ja kuvan. Tietää, kuinka nämä käsitteet liittyvät kuvauksen injektiivisyyteen ja surjektiivisuuteen.

Käyttää ryhmien homomorfialausetta.

Ymmärtää ryhmähomomorfismien ja lineaarikuvausten välisen yhteyden. Tietää, että vastaavasti myös renkaille voidaan määritellä homomorfismin käsite.