Luentopäiväkirja/Topo IA, kesä 2017

Tässä kerrotaan karkeasti etukäteen, mitä luennoilla suunnitellaan käsiteltäväksi tai tehtäväksi, ja jälkikäteen, mitä käsiteltiin tai tapahtui; ei ole mahdotonta, että tänne joskus tulisi lisämateriaalia (etu- ja/tai jälkikäteen).

Tekijä yrittää (aikataulusyistä) hillitä taipumustaan kirjoittaa anteliaasti…

• To 18.5.:  Kurssilla toivotaan kuulijoilta mahdollisimman suurta panosta yhteiseen keskusteluun (kaikissa tilanteissa) — ja itsenäistä lukemista yksin ja ryhmissä.  Itsenäisyyttä tuetaan eri tavoin.  Sähköisiä alustojakin pohditaan.
  
  Kurssin aluksi tarkasteltiin esitietojen tilaa kuulijoiden keskuudessa (liittyen kirjan lukuun 0). Ne vaikuttivat lupaavilta. Varmuudeksi (ja siksi, että aivan kaikki eivät olleet käyneet esimerkiksi Johdatus yliopistomatematiikkaan -kurssia) tutkittiin kuitenkin kirjan lukua 0.
  
  Korostettiin mm., että yhtäpitävyyden todistamisessa (esim. joukkoyhtälöiden perustelussa) on usein turvallisinta käsitellä eri suuntaiset implikaatiot erikseen. (Ekvivalensseissa näet helposti unohtuu ajatella — ja perustella — implikaatio "taaksepäin". Helppoja perusteluja on kahta tyyppiä: määritelmä (siis sopimus) ja lause tms. (joka on todistettu). Muuten pitää perustelut kehittää itse, ja niiden ajattelu tai esittäminen voi olla kömpelöä "yhdellä kertaa". Kummastakin — etenemisestä ekvivalenssein ja etenemisestä implikaatioin eri suuntiin erikseen — kehitettiin liitutaululla esimerkki.)
   
  Toinen korostettu, historiallisesti hankala, asia on alkukuvan käsite (kuvauksen maalin osajoukon alkukuva on tietty lähdön osajoukko). Sellaisten perustelussa, kuten joukkoyhtälöissä muutenkin, hyvin usein kannattaa toimia alkiotasolla (eikä käsitellä kokonaisia joukkoja). Asia on helppo, kun muistaa, että  "x  kuuluu  f-alkukuvaan  B:stä"  tarkoittaa samaa kuin että  "f(x)  kuuluu  B:hen".   Emme käytä "potenssiin miinus yksi" -merkintää alkukuvan yhteydessä (käänteiskuvauksen ei tarvitse olla olemassa!) vaan taaksepäin osoittavaa nuolta yläindeksinä.
  
  Mainittakoon esille nostetuista vielä huomautus kohdassa 0.6, että on syytä tehdä selvä ero olioiden  f  ja  f(x)  välillä!  Emme koskaan sano "kuvaus  f(x)",  jos tarkoitamme kuvausta  f !  (Ajattele kuvauksia, joiden maalina on funktioavaruus…)
  
  Luvun 0 erinäisten tarkastelujen jälkeen hyppäsimme lukuun 2, joka käsittelee kurssin ydinaihetta, metriikkaa, josta ehdimme tarkastella määritelmää 2.1.
  
  Keskusteltiin myös   kurssikokeen ajankohdasta: koe näyttäisi tulevan keskiviikkoon juhannuksen jälkeen — varmistetaan vielä. 
   
• Ma 22.5.:  Metrisen avaruuden käsite ja esimerkkejä; kuulat ja esimerkkejä. Huomaa: näissä monasti viitataan luvun 1 asioihin, joista tässä vaiheessa otettiin tarkasti esille itse normin käsite (määritelmä kohdassa 1.6) ja todistettiin lause 2.2 huolellisen yksityiskohtaisesti.

   

  • Kaikkiin sisätulo- ja normiasioihin kannattaa kuulijoiden perehtyä pikku hiljaa itsenäise sti ja ryhmissä. "Ohjausviikolla" 22 siihen on erityisen hyvä tilaisuus. Myöhemmin kurssilla katsotaan sitten eräitä kohtia yhdessä luennoilla.

  Viimeiseksi määriteltiin kahden epätyhjän joukon etäisyyden käsite.  (Luennon alussa oli puhuttu vielä hieman merkinnöistä luvussa 0.)
  
  

• Ke 24.4.:  Lause 2.10 ja sen todistuksen "infimum-tekniikka".  Jatkettiin luvun loppuun (jättäen osa itsenäisesti luettavaksi) ja aloitettiin varsinainen topologia: määriteltiin käsite 'avoin joukko', tarkasteltiin avoimuuden ja epäavoimuuden osoittamista (myös logiikan kvanttoritasolla) havaintoesimerkeissä ja lauseen 3.2 tapauksessa. Lauseen todistuksen loppuun vieminen jätettiin "harjoitustehtäväksi" esitetyn idean pohjalta.
   
  Funktioavaruusasiaa käsiteltiin sikäli, että esimerkkiin 2.16 paneuduttiin.
  
  
• Pe 26.4.:  Aamun arvoitus:   Kuula, jonka läpimitta on pienempi kuin vastaavan suljetun kuulan! 
  
  [Tästä oli ilmeisesti teksti tuhoutunut luentosalissa tehdyn päivityksen yhteydessä.]  Käsiteltiin esimerkkejä 3.3, usein lisäten yksityiskohtia. Todistettiin lauseet 3.4 ja 3.5, koska ne ovat keskeisiä. (Jotkin muut asiat jätettiin enemmän oman tms. lukemisen varaan.) Ympäristö (pisteen ja joukon). Erakkopiste, diskreetti avaruus. (Pykälät 3.13 ja 3.14 jätettiin melkein kokonaan lukijan harrastuksen varaan — ne eivät "kuulu kurssiin".)
  
  Aloitettiin luku 4: esitettiin jatkuvuuden määritelmä (kohta 4.1).
   

• "Ohjausviikko": Ohjauksia ja harjoituksia, ei luentoja.
  
   
• Ma 5.6.:  Onko tähänastisesta kurssiasiasta kysyttävää?  Tässä on tilaisuus tarkastella ajatusten tilaa.
  
  Jatkettiin lukua 4 esimerkeistä 4.2.  Samalla kertautui jatkuvuuden määritelmä (joka tosin oli juuri perjantaina esillä harjoituksissa). Epäjatkuvuuden osoittaminen on logiikan tasolla samanlaista kuin (hiljattain oli) epäavoimuuden osoittaminen!  Nähtiin monta jatkuvuuden karakterisointia lisää, niistä ehkä tärkein on lauseessa 4.8. Lipschitz-kuvaus.
  
  
• Ke 7.6.:  (Uutinen: Tiistaina paljastui erään kirjan "väitteen" mielenkiintoinen status...)
  
  Katsottiin luvun 4 loppu osin nopeahkosti. (Aluksi katsottiin uudestaan lausetta 4.8, josta todistettiin jälkimmäinen puoli uudelleen, nyt rauhallisesti, ja katsottiin kuvallisia esimerkkejä — sekä jatkuvasta että epäjatkuvasta tapauksesta.) Luvussa 5 päästiin projektioiden alkuun, kun esimerkki 5.4 jätetiin itsenäiseen tutustumiseen. Lauseen 5.3 todistus esitettiin yksityiskohtaisesti, huolellisesti ja motivoiden (vaikka se onkin "olennaisesti" samanlainen kuin alkeisanalyysin tapauksen todistus).
  
  
• Pe 9.6.:  Onko esimerkeistä 5.4 kysyttävää?
  
  Käytiin luku 5 loppuun (projektiot, komponenttikuvaukset, "jatkuvannäköisten" funktioiden jatkuvuuden perusteluperiaatteista) ja aloitettiin luku 6 (noin ensimmäinen sivu; kuitenkin myös joukon sulkeumasta: sitä verrattiin esim. joukon virittämään aliavaruuteen lineaarialgebrassa).
  
  
• Ma 12.6.:  Hiukan funktioavaruuksista, kuten  C[a,b]:n  vektoreiden piirtämisestä (voidaan samastaa kuvaajien kanssa) ja näiden etäisyyksien "kuvasta näkemisestä", ja diskreeteistä avaruuksista. Varsinaisesti edettiin suunnilleen lauseesta 6.3 lauseeseen 6.10.  Määriteltiin kosketuspisteen käsite: osajoukon  A  kosketuspisteitä ovat ne avaruuden pisteet, joiden jokainen ympäristö kohtaa  A:n,  ts.  A:n  sulkeuman pisteet.  (Keskusteltiin periaatteellisesti määrittelyn vaihtoehdoista ja todistettiin kosketuspisteelle karakterisointi: "jokainen kuulaympäristö…".)
  
  
• Ke 14.6.:  Kuljettiin luvun 6 loppuun (vaikka yliopiston tilavarausjärjestelmän "uudistuksen" takia varaukset olivat kadonneet ja luento jouduttiin pitämään ex tempore löyd etyssä tilassa viivästyneenä). Kuitenkin muutamaan asiaan palataan perjantaina; vaikeimpiin todistuksiin oli käytetty paljon aikaa. Lisäksi katsottiin yhdessä myös asioita luvusta 1 (nyt sen alusta käsitteiden 'vektoriavaruus' ja 'vektorialiavaruus' määritelmät).
  
  
• Pe 16.6.:  Aluksi palattiin luvun 6 kohtiin 6.15–6.18, joissa huomattava osa todistuksista (varsinkin 6.17:lle) jätettiin lukijalle — mutta osa käytiin läpi. Esitettiin myös ehdon 6.13.3 mielenkiintoinen sovellus: näytettiin, millä tavoin sen avulla voidaan perustella tehtävän 6:7 väite, joskin vedoten osin asioihin (tuloavaruuksista), jotka vaatisivat lisätyötä.
  
  Sitten siirryttiin lukuun 7 (Relatiivitopologia). Esitettiin pääosin kahden alkusivun asiat, mutta varsinaisesti lauseista todistettiin — huolellisesti — vain 7.2 eli vaativin osuus. Lukijan toivotaan katsovan loput; viimeinen eli lauseen 7.9 todistaminen on joka tapauksessa tullut harjoitustehtäväksi.
  
  
• Ma 19.6.:  Palattiin nopeahkosti luvun 7 alkuosaan (kohtiin 7.3–7.9). Sitten käsiteltiin jatkuvuusasiat kohdasta 7.10 alkaen.  Puhdittiin, mitä tarkoittaa, että funktio  f: X→Y  "on jatkuva  A:ssa".  (Tähän liittyy sekaannuksen vaara, ks. 7.12.)  Mainittiin myös, että funktion määritteleminen "paloittain" niin, että rajoittumat näihin "paloihin" ovat jatkuvia, antaa (globaalisti) jatkuvan funktion seuraavassa kolmessa tapauksessa: (1) palat ovat suljettuja ja niitä on äärellisen monta, (2) palat ovat avoimia, (3) palat ovat suljettuja ja syntyvä peite on ns. lokaalisti äärellinen. (Todistuksista suurin osa jätetään kirjassa harjoitustehtäväksi.)  Sen sijaan jatkuvuudesta ei ole takeita, jos vain osa paloista on avoimia tai vain osa paloista on suljettuja (kuten 7.12:n esimerkissä) — vaikka näin näkee usein tehtävän!
  
  Luvusta 8 olikin ainakin reunapisteen käsite jo (harjoituksista) tuttu; muuta katsottiin hyvin nopeasti — todistuksista ei puhuttu!
  
  
• Ke 21.6.:  Kertausluento, jossa vähän "uuttakin".  Onko luvusta 8 kysyttävää?  Mitä kysyttävää aiemmista luvuista voisi nyt olla? Kuulijoilla ei ollut valmiina yleiskysymyksiä.  Kuitenkin luvusta 8 katsottiin vielä lausetta 8.3 ja käytiin yhdessä osa sen todistuksesta sekä puhuttiin esimerkin 8.4 ratkaisusta — jossa perusteluja voi sanoa "puolitarkoiksi".
  
  Tarkasteltiin, mitä taitoja kurssilla (kokeessa) tarvitaan, mitkä tietoja voi pitää keskeisinä, mitä ilmiöitä on kohdattu. Kerrattiin monia asioita lyhyesti ja katsottiin samalla joitakin todistuksia (tms.), joista ei ollut yhdessä puhuttu. 
  
  Tarkoitus oli, mutta aika ei riittänyt, katsoa, mitä jännittävää oli kohdattu funktioavaruuksista — esimerkiksi kuvauksia, joiden lähtö on funktioavaruus (sup-metriikalla varustettu), jopa sellaisia, joiden maali(kin) on funktioavaruus!  Derivaattaoperaattori  D  on lineaarinen, onhan  D(af+bg) = aD(f) + bD(g), mutta silti epäjatkuva!  Perustelu viimeisissä harjoituksissa.  "Toisesta suunnastakin" piti puhua, mutta onneksi ratkaisuehdotuksissa onkin mainittu  D:n  oikeanpuoleinen (muttei varsinainen) käänteiskuvaus  C[0,1] → C¹[0,1],  joka on jatkuva.
  
  
  Mitä tämän jälkeen?  Olemme muutaman kerran viitanneet, miten B-kurssissa opitaan lisää tietyistä aiheista; mitä esim. niin sanottu kompaktisuus tai yhtenäisyys vaikuttaa joihinkin tarkastelemiimme ilmiöihin.  Lisäksi kirjan luku 15 (joka valitettavasti yleensä jää B-kurssinkin ulkopuolelle) on hyvin mielenkiintoinen, kun siellä voimakkaasti yhdistetään eri kurssien asiaa!  Tässä tapauksessa (lineaari)algebraa ja topologiaa.  (Yleinen kokemus näet on, että tällainen aivan erilaisilta vaikuttavien aihepiirien yhdistäminen voi olla hyvin kiehtovaa.)