Todennäköisyysteoria, syksy 2010

Luennoitsija

Esa Nummelin

Laajuus

8 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Esitietovaatimukset

Analyysi I-II; Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I; Vektorianalyysi.

Hyödyllisiä kursseja (muttei tarvita varsinaisesti esitiedoiksi): Johdatus todennäköisyyslaskentaan; Funktionaalianalyysin peruskurssi; Mitta ja integraali.

Luento- ja harjoitusajat

Ma 12-14 ja ti 10-12 C124. Joulukuun luennot: ke 1.12. 14-16 C323; ti 7.12. 10-12 C124; ke 8.12. 14-16 C323; ma 13.12. 12-14 C124; kertausluento ke 15.12. 14-16 B120. Joulukuun harjoitukset to 2.12. 16-18 C124, ti 14.12. 10-12 C124.

Kokeet

1. kurssikoe to 4.11. klo 16.00-18.00 salissa CK112. 1. kurssikokeen alue: Sottinen/todennäköisyysteoriasta luvut 1-3; paitsi, että pois jäävät luku 1.2, luvusta 2.3 sivulta 17 viimeiset 11 riviä, luku 2.4, luvusta 3.3 sivulta 23 viimeiset 14 riviä. 1. kurssikokeen painoarvo on 40%.

2. kurssikoe to 16.12. klo 16.00-18.00 salissa CK112. 2. kurssikokeen alue: Luku 4, paitsi ei Lauseiden 4.1.11 (ii), 4.2.1 ja Seurauksen 4.4.2 todistukset. Luku 5, paitsi ei Määr. 5.2.3 ja Lause 5.2.4; luvuista 5.3-5.5 mukaan vain Seur. 5.3.7. Luku 6 ei. Luku 7: mukaan luku 7.1, luku 7.2 vain tapauksissa p=2 ja p=1, luku 7.3 mukaan paitsi ei Esim. 7.3.3. Luku 7.4 ei. Luku 8: Mukaan 8.1.1 -8.1.3, 8.1.10 - 8.1.12, lauseen 8.1.10 todistusta kuitenkaan ei. Luvut 8.2 ja 8.3 ei. Luku 9: Luku 9.1, luvusta 9.2. mukaan vain 9.2.5-9.2.10, luku 9.3 paitsi ei 9.3.3. Luku 9.4 ei. 2. kurssikokeen painoarvo on 60%.

Ylimääräinen loppukoe 27.1. (ei tarvitse ilmoittautua). Laskuharjoitusten lisäpisteet voimassa kurssikokeissa sekä tammi- ja maaliskuun lopputenteissä.

Kirjallisuus

Tommi Sottinen/todennäköisyysteoria

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset

Laskuharjoituksista saa lisäpisteitä 0-6 pistettä. (Voimassa 31.1.2011 asti.) Jos ei pääse harjoituksiin, lasketut laskarit voi toimittaa henkilökohtaisesti tai luennoitsijan postilokeroon (3. krs.) paperiversiona ennen harjoituksen alkamista, jolloin ne otetaan huomioon.

1. harjoitus: Tehtävät 1.4, 1.5, 2.1 ja 2.2.

2. harjoitus: Tehtävät 1.6, 2.3, 2.3(viii) ja 2.5

3. harjoitus: Teht. 1: 2.6. Teht. 2: 2.7. Teht. 3: Missä kohdassa symmetrisen rahan SLL:n todistuksessa on käytetty Borel-Cantellin lemmaa?
 Teht. 4-5: Muotoile ja todista heikko SLL ja vahva SLL epäsymmetrisen rahan tapauksessa, jossa kruunan tn on $p \in (0,1)$ on mielivaltainen.

4. harjoitus: Teht. 1: 3.2. Teht. 2: 3.3. Teht.3: 3.4. Teht. 4: Olkoot X ja Y mielivaltaisia sm:ia. Osoita, että XY on sm. Teht. 5: Oletetaan, että $Y \neq 0$. Osoita, että X/Y on sm.

5. harjoitus: Teht. 4.1, 4.2, 4.4, 4.5 ja 4.8.

6. harjoitus: Teht. 4.6, 4.11, 4.13, 4.14. Lisäksi: Osoita, että $E_Q U = E(X^pU)/E(X^p)$, missä $U$ on satunnaismuuttuja ja $E_Q$ on selitetty tekstissä s:lla 37.

7. harjoitus: Teht. 5.3, 5.12, 5.15. Lisäksi Esim. 4.4.5 sivuilta 40-42 ja Apulauseen 7.1.4 todistus.

8. harjoitus: Teht. 5.16, 7.1, 7.3, 7.4, 7.7 (vain tapaus p=2, q=1). Lisäksi Esim. 8.1.3.

9. harjoitus: 1. Teht. 9.1. 2-3. Olkoon $G$ sigma-algebran $F$ alisigma-algebra. Oletetaan, että $X$ ja $Y$ ovat satunnaismuuttujia, $Y$ on $G-$mitallinen. 2. Osoita, että $E(YX|G)=YE(X|G)$. 3. Olkoon $H$ sigma-algebran $G$ alisigma-algebra. Osoita, että $$E(E(X|G)|H)=E(X|H). (Tehtävissä 2-3 $F,G$ ja $H$ ovat kaunokirjaimia.) 4. teht. 7.15. 5. teht. 7.16.