Lineaaristen operaattorien dynamiikka, syksy 2010

Last modified by hurrisyr@helsinki_fi on 2024/03/27 10:09

Lineaaristen operaattorien dynamiikka (5 op), syksy 2010

Ajat ja paikat

Opettaja: Pekka Nieminen

Luennot: II periodilla (viikot 44-50) maanantaisin 12-14 ja keskiviikkoisin 14-16 salissa B321. Ensimmäinen luento maanantaina 1.11. Kurssi luennoidaan suomeksi.

Harjoitukset: keskiviikkoisin 16-18 salissa B321, alkaen 10.11.
 Tehtävät: 1, 2, 3, 4, 5, 6
 Ratkaisut: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Suorittaminen

Kurssin voi suorittaa osallistumalla viikoittaisiin harjoituksiin aktiivisesti (vähintään puolet tehtävistä on ratkaistava). Loppukokeella kurssin voi suorittaa perjantaina 17.12. klo 8.30-12.30 järjestettävän yleistentin yhteydessä.

Vuoden 2011 yleistenteissä kurssia voi suorittaa, jos sopii siitä hyvissä ajoin luennoijan kanssa.

Luentomuistiinpanot ja kirjallisuutta

Luentomuistiinpanot

Muuta hyödyllistä kirjallisuutta:

Kurssikuvaus

Lineaaristen operaattorien dynamiikassa tutkitaan lineaaristen operaattorien iterointiin liittyviä kysymyksiä ja ilmiöitä. Kyseessä on varsin moderni funktionaalianalyysin osa-alue, sillä suurin osa aihetta käsittelevästä tutkimuksesta on syntynyt vasta 1990- ja 2000-luvulla. Esitiedoiksi riittävät kuitenkin Funktionaalianalyysin peruskurssin tiedot. Lisäksi joissakin esimerkeissä tarvitaan analyyttisiä funktioita, joten Funktioteoria I on hyödyksi.

Keskeinen kurssilla tarkasteltava käsite on operaattorin hypersyklisyys. Jos T on lineaarinen operaattori (esimerkiksi) Banachin avaruudessa X, sanomme, että T on hypersyklinen, mikäli on olemassa sellainen X:n vektori x, jonka rata {x, Tx, T(Tx), ...} on tiheä avaruudessa X. Monet konkreettisetkin operaattorit osoittautuvat hypersyklisiksi (vaikka sitä ei usein näekään suoraan määritelmän perusteella), klassisena esimerkkinä operaattori T = 2B, jossa B on "siirto taaksepäin" eli B(x1,x2,...) = (x2,x3,...) jonoavaruudessa l^2. Itse asiassa lineaaristen operaattorien dynamiikka ääretönulotteisissa avaruuksissa voi olla yllättävänkin rikasta ja monipuolista, sillä vektorien radat saattavat käyttäytyä hyvinkin arvaamattomasti. Hypersyklinen lineaarinen operaattori voi olla jopa kaoottinen tavalla, joka on yleensä totuttu liittämään epälineaarisiin systeemeihin!

Kurssi on matematiikan syventävien opintojen erikoiskurssi, joka sopii valinnaiseksi opintokohteeksi kaikille matematiikan ja soveltavan matematiikan perus- ja jatkotutkinto-opiskelijoille. Erityisen soveltuva se on ainakin analyysin, soveltavan analyysin ja matemaattisen fysiikan linjoilla.