Tillbaka till kurssidan

Kursdagbok och extra information

Denna sida innehåller information om det material som behandlats på föreläsningarna (sidan uppdateras efter varje föreläsning).

tis 8.9. Allmän introduktion. (Kapitel 0.) Mängder och kalkyl med mängder (repetition och påminnelse). (Kapitel 1.) Rationella tal och deras egenskaper. Kvadratroten av 2 är inte ett rationellt tal.

tor 10.9. De reella talen: några alternativa definitioner. De fundamentala egenskaperna (= axiom) för reella tal. Induktionsprincipen och exempel på induktionsbevis.

mån 14.9. Induktionsbevis: flera exempel. Absolutbeloppet. Olikheter och beräkning med absolutbelopp. Triangelolikheterna: formulering och geometrisk tolkning.

tis 15.9. Bevis av triangelolikheterna, samt ett par exempel på användningar. Uppåt och nedåt begränsade mängder; övre och undre gränser. Största och minsta element i en given mängd.

tor 17.9. Supremum och infimum för en given mängd: definition och enkla exempel. epsilon-kriteriet för supremum (Sats 2.4 i kompendiet), och tillämpningar i exempel.

mån 21.9. epsilon-kriteriet för infimum. Fullständighetsaxiomet: varje icke-tom uppåt begränsad mängd av reella tal har ett supremum. Tillämpningar av fullständighetsaxiomet: kvadratroten av 2 finns som ett reellt tal; Arkhimedes sats.

tis 22.9. Bevis av Arkhimedes sats. Tillämpningar: mellan varje par av rella tal finns både rationella och irrationella tal; godtyckligt nära varje reellt tal finns det rationella tal.

tor 24.9. (Kapitel 2.) Talföljder och gränsvärdet av talföljder: definitionen av gränsvärdet och enkla exempel. Egenskaper: konvergerande talföljder satisfierar Cauchys kriterium och är begränsade. Flera exempel.

mån 28.9. Konvergensen av delföljder till en konvergerande talföljd. Principen om bevarandet av olikheter (vid konvergens). Instängningsprincipen med exempel. Algebraiska räkneregler för gränsvärdet: summor, produkter och kvoter av talföljder.

tis 29.9. Bevis av räknereglerna för gränsvärdet, samt exempel. Monotona talföljder. Varje växande och uppåt begränsad talföljd konvergerar, likaså varje avtagande och nedåt begränsad talföljd. Rekursivt definierade talföljder.

tor 1.10. Exempel på konvergens av monotona talföljder: Bernoullis olikhet och Sats 4.10 från kompendiet, Nepers tal e. Varje talföljd har en monoton delföljd. Bolzano-Weierstrass sats: varje begränsad talföljd har en konvergerande delföljd.

mån 5.10. Cauchys konvergenskriterium för talföljder. Talföljder som växer eller avtar obegränsat (oegentliga gränsvärden): definition och exempel.

tis 6.10. (Kapitel 3.) Allmän definition av en avbildning (synonymt: en funktion). (epsilon,delta)-definitionen av gränsvärdet för en funktion. Olika exempel på hur definitionen kan verifieras.

tor 8.10. Exempel där gränsvärdet saknas. Egenskaper: en funktion är begränsad "nära en punkt" där gränsvärdet existerar. Allmänna räkneregler för gränsvärdet (Sats 5.4 i kompendiet) och exempel.

mån 12.10. Gränsvärdet är entydigt (om det existerar). Flera exempel på beräkning av gränsvärdet. Höger- och vänstergränsvärde: definition, exempel och samband med gränsvärdet (Sats 5.6 i kompendiet).

tis 13.10. Gränsvärdet i oändligheten och oegentliga gränsvärden. Diverse exempel. Växande och avtagande funktioner.

tor 15.10. Gränsvärdet existerar för monotona (dvs. växande eller avtagande) funktioner om de är begränsade. Exempel på funktion som saknar gränsvärde i oändligheten. Provuppgifter från tidigare år.

2.perioden

mån 2.11. Kontinuiteten av en funktion i en punkt: definitionen och exempel på kontinuerliga och diskontinuerliga funktioner. Differenskvoten och definitionen av derivatan av en funktion i en punkt. Enkla exempel med derivatan.

tis 3.11. Allmänna resultat om summan, produkten och kvoten av kontinuerliga funktioner. Kontinuiteten av polynom och rationella funktioner. Sammansatta funktionen och dess kontinuitet. Exempel.

tor 5.11. Bolzanos sats och olika tillämpningar. Minimum (= minsta värde) och maximum (= största värde) av en funktion i en given mängd. Weierstrass min-max sats: varje kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat intervall har ett minsta och största värde. Bevis av Weierstrass sats.

mån 9.11. Alternativt bevis av min-max satsen (steg 2). Existensen av minsta och största värden för kontinuerliga funktioner då villkoren i Weierstrass sats inte är satisfierade. Mera om avbildningar: injektioner, surjektioner, bijektioner. Inversa funktionen.

tis 10.11. Egenskaper och exempel av inversa funktioner. Inversa funktionen till en kontinuerlig strängt växande (resp. strängt avtagande) funktion på ett intervall är kontinuerlig och strängt växande (resp. strängt avtagande). Tillämpningar: n:te roten.

tor 12.11. Egenskaper av funktionen n:te roten av x. Vidare exempel på tillämpningar av satsen om inversa funktionen. (Kapitel 5.) Derivatan och dess tillämpningar: definitionen av derivatan och enkla exempel.

mån 16.11. Geometrisk tolkning av derivatan. Differentialrepesentationen och deriverbarhet. Deriverbara funktioner är kontinuerliga. Deriveringsregler: derivatan av summor och produkter med exempel.

tis 17.11. Härledning av deriveringsregler: derivatan för en kvot av funktioner, sammansatta funktioner och inversa funktionen. Exempel.

tor 19.11. Exempel på derivatan av inversa funktioner. Höger- och vänsterderivata. Högre derivator. Tillämpningar av derivatan: tecknet av derivatan i en punkt och den lokala tillväxtriktningen (8.1 och 8.2 i kompendiet).

mån 23.11. Rolles sats med exempel. Medelvärdessatsen och geometrisk tolkning. Integralkalkylens fundamentalsats. Medelvärdesolikheterna. Tillämpningar: feluppskattningar, hur långt är kvadratroten av 2 från givet rationellt tal? (extra material, specialfall av Liouvilles sats)

tis 24.11. Vidare tillämpningar av MVS: monotonicitetskriterier med hjälp av derivatan, samt exempel. Lokala extremvärden och extremvärdespunkter: derivatatestet.

tor 26.11. Exempel: användning av derivatatestet för lokala extremvärden samt största/minsta värdet i givet intervall. Extremvärdestestet med andra derivatan f''.

mån 30.11. Konvexitet och konkavitet av funktioner: definition och exempel. Konvexitet och 1. derivatan. Konvexitet och 2. derivatan. Exempel.

tis 1.12. Inflexionspunkt. L'Hospitals regel (enkla versionen, kompendiet s. 62) och exempel på gränsvärden. Exempel: funktion vars derivata existerar i ett intervall, men gränsvärdet av derivatafunktionen saknas i en punkt pga. oscillation. (Kapitel 6. Elementära funktioner.) Exponentfunktionen: förberedande egenskaper.

tor 3.12. Konstruktion av exponentfunktionen. Basegenskaper: exponentfunktionen e^x är strängt växande, kontinuerlig och deriverbar i hela R.

mån 7.12. Exponentfunktionen växer snabbare än varje potens av x. Logaritmfunktionen och dess egenskaper. Generaliserade exponent- och logaritmfunktioner, allmänna potensfunktioner.

tis 8.12. Hyperboliska funktioner och deras inverser (= areafunktioner). Trigonometriska funktioner: geometrisk definition av sinus och cosinus, samt basegenskaper. Kontinuitet och deriverbarhet.

tor 10.12. Periodiciteten hos sinus och cosinus. Tangentfunktionen. Inversa funktioner till trigonometriska funktioner: arcusfunktionerna (definitionsområden, formlar för derivatan). Översikt av provområdet.