Levy processes, fall 2008

Lecturer

dos. Juha Vuolle-Apiala

Scope

5 sp.

Type

Advanced studies.

Prerequisites

Knowledge of probability theory, f.ex. the course "Todennäköisyysteoria". The course "Stokastiset prosessit" is useful.

Pohjatietoina edellytetään Todennäköisyysteorian kurssia tai vastaavia tietoja. Stokastisten prosessien kurssin hallitseminen on eduksi.

Lectures

Weeks 36-42 and 44-50 Friday 10-12 in room B321.

A two hour exercise class Friday 12-14 in room B321 in the weeks 38, 40, 42, 45, 47, 49 and 50.

Viikot 36-42 ja 44-50 pe 10-12 B321.

Laskuharjoitus pe 12-14 B321:ssä viikoilla 38, 40, 42, 45, 47, 49 ja 50.

Contents

Levy-processes are stochastic processes with independent, stationary increments. They are translation invariant and have the strong Markov property. The most well-known examples are Brownian motion and Poisson process.

During the last few years the class of Levy-processes has become an object of active research. In financial mathematics geometric (exponential) Brownian motion has traditionally been a model of the price process. It has been suggested that instead of geometric Brownian motion some other geometric Levy-process would give a more realistic model.

The plan is to go through central properties of Levy-processes. Besides Brownian motion and Poisson process other examples will be presented, f.ex. subordinators (increasing Levy-processes) and stable motions.

Levy-prosesseiksi kutsutaan stokastisia prosesseja, joilla on riippumattomat stationaariset lisäykset. Tällaiset prosessit ovat translaatioinvariantteja, ts. prosessi käyttäytyy samalla tavalla riippumatta aloituspisteestä, ja niillä on vahva Markovin ominaisuus.

Tunnetuimpia esimerkkejä ovat Brownin liike ja Poisson prosessi.

Viime aikoina Levy-prosessit ovat olleet paljon esillä tutkimuksessa. Rahoitusteoriassa on perinteisesti käytetty geometrista (ekspotentiaalista) Brownin liikettä hintaprosessin mallina. On ehdotettu, että Brownin liikkeen asemasta jokin muu Levy-prosessi antaisi realistisemman mallin.

Tarkoituksena on käydä läpi Levy-prosessien keskeiset ominaisuudet. Brownin liikkeen ja Poisson prosessin ohella on tarkoitus käsitellä muita esimerkkejä, mm. subordinaattorit (kasvavat prosessit) sekä stabiilit liikkeet.

Registration

Exam

Friday 12.12. 10.15-13.15 in room B321.

Exercise groups