Spektraaliteoria, kevät 2007

Luennoitsija

dos. Kari Ylinen

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Funktionaalianalyysin peruskurssista ja syyslukukaudella 2006 luennoidusta normialgebroiden kurssista on hyötyä, mutta kurssi rakennetaan siten, että se on mahdollista ymmärtää topologia I:n sekä mitta- ja integrointiteorian alkeiden pohjalta.

Luentoajat

III ja IV periodi, joka toinen viikko ma 10-12 C321, ma 14-16 C122. Alkaa 15.1.

Pääsiäisloma 5.-11.4.

Suoritustapa

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Varsinaisia laskuharjoituksia ei ole, mutta kurssin aikana annetaan n. 50 kpl tehtäviä, joiden ratkaisemisesta kirjallisesti saa kokeeseen lisäpisteitä seuraavasti:

25%: +1p, 35%: +2p, 45%: +3p, 55%: +4p, 65%: +5p ja 75%: +6p.

Sisältö

Tietyn tyyppiset Hilbertin avaruuden operaattorit voidaan esittää kompleksilukujoukon identtisen kuvauksen integraalina sopivan ns. spektraalimitan suhteen. Tätä esitystä sanotaan spektraaliesitykseksi, ja sillä on runsaasti sovelluksia analyysiin ja matemaattiseen fysiikkaan.

Kurssilla johdetaan spektraaliesitys ainakin rajoitetuille normaaleille operaattoreille ja rajoittamattomille itseadjungoiduille operaattoreille. Funktionaalianalyysin perusteita kerrataan ja täydennetään tarvittavassa määrin, ja joitakin keskeisiä sovelluksia mainitaan.

Kirjallisuus

Kurssi perustuu luentomonisteeseen eikä seuraa mitään tiettyä kirjaa.