Harmoniset kuvaukset I, syksy 2007

Luennoitsija

prof. Olli Martio

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Esitietoina toivottavia olisivat kurssit Mitta- ja integraali, Reaalianalyysi I ja Funktioteoria I. Nämä eivät kuitenkaan ole välttämättömiä kurssin ymmärtämiselle - Analyysi I:n ja II:n sekä Vektorianalyysin hyvät tiedot riittävät.

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 to 10-12 C124.

Suoritustapa

Kurssin suorittaminen koostuu 2 kirjallisesta harjoitustehtäväkokoelmasta sekä lyhyestä kurssin aiheeseen liittyvästä esseestä.

Asema opinnoissa

Kurssi on syventävien opintojen kurssi ja soveltuu analyysin linjalle ja opettajalinjalle. Se sopii myös sovelletun analyysin erikoiskurssiksi.

Sisältö

Harmoninen kuvaus f = (u,v) tasoalueelta D tasoon R2 on kuvaus, jonka koordinaattifunktiot u ja v ovat harmonisia funktioita eli toteuttavat Laplacen differentiaaliyhtälön Δu = 0 = Δv. Funktioiden u ja v ei kuitenkaan tarvitse olla toistensa konjugaattifunktioita eli toteuttaa Cauchy-Riemannin yhtälöitä. Harmoniset kuvaukset muodostavat siten laajemman kuvausluokan kuin analyyttiset funktiot.

Harmonisilla kuvauksilla ja minimaalipinnoilla R3:ssa on läheinen yhteys. Kuitenkin viime vuosina tutkimus on keskittynyt tason harmonisiin kuvauksiin. Kurssin tarkoitus on muodostaa johdatus harmonisten kuvausten nykyiseen tutkimukseen.

Kurssin sisältö on seuraava:

1. Harmoniset funktiot tasossa: harmoniset ja superharmoniset funktiot, Poissonin kaava, Dirichlet'n probleema

2. Katsaus analyyttisten funktioiden ja konformikuvausten teoriaan: Riemannin kuvauslause, argumentin periaate

3. Harmonisten funktioiden kriittiset pisteet ja Lewy'n lause

4. Univalenteista harmonisista kuvauksista: Heinzin lemma, Radon lause

5. Harmoniset kuvaukset kiekolta konveksille alueelle

Kirjallisuus

Duren, Peter: Harmonic mappings in the plane, Cambridge University Press 2004.

Muuta

Kevätlukukaudella luennoidaan tämän kurssin jatkoksi samanmuotoinen kurssi Harmoniset kuvaukset II.