Differentiaalilaskenta Banachin avaruuksissa, syksy 2007

Luennoitsija

dos. Kari Ylinen

Laajuus

5 op.

Tyyppi

Syventävä opinto.

Esitietovaatimukset

Vektorianalyysi, Topologia I

Luentoajat

I ja II periodi joka toinen viikko ma 10-12, ma 14-16 B321. Alkaa 3.9.

Suoritustapa

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Varsinaisia laskuharjoituksia ei ole, mutta kurssin aikana annetaan n. 50 kpl tehtäviä, joiden ratkaisemisesta kirjallisesti saa kokeeseen lisäpisteitä seuraavasti:

25%: +1p, 35%: +2p, 45%: +3p, 55%: +4p, 65%: +5p ja 75%: +6p.

Sisältö

Banachin avaruuden osajoukossa määritellyn Banachin avaruus -arvoisen kuvauksen derivaatta on jatkuva lineaarikuvaus, ja tästä näkökulmasta voidaan vektorianalyysin kursilla käsiteltyä differentiaalilaskentaa varsin pitkälle kehittää yleisten Banachin avaruuksien tilanteessa. Derivaattakäsitteen lisäksi kurssilla käsitellään korkeamman kertaluvun derivaattoja jatkuvina multilineaarikuvauksina ja mm. todistetaan derivoimisjärjestyksen vaihtolause yleisessä tapauksessa. Muita keskeisiä tuloksia ovat käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause.

Kurssin lopussa esitellään lyhyesti Banachin monistojen teoriaa johdatuksena kevätlukukaudella 2008 luennoitavaan Banachin-Lien ryhmien kurssiin.

Kirjallisuus

Kurssi perustuu luentomonisteeseen eikä seuraa mitään tiettyä kirjaa.