Takaisin kurssisivulle

Luentopäiväkirja ja ilmoitusasioita

Luennoilla käsitellyt asiat

• ma 12.1.: Johdanto: topologia ja topologisia käsitteitä (yleistä).
   (Luku 0.) Joukko-oppia: kertausta ja täydennystä, ml.
   indeksöidyn joukkoperheen yhdiste ja leikkaus, de Morganin lait

• ke 14.1. Kuvaukset, yhdisteen ja leikkauksen käyttäytyminen kuvissa ja alkukuvissa;
   (Luku 1.) Vektoriavaruus ja esimerkkejä, sisätuloavaruus ja esimerkkejä,
   Schwarzin epäyhtälö ja kolmioepäyhtälö normille

• ma 19.1. Normiavaruus ja esimerkkejä. (Luku 2.) Metrinen avaruus ja esimerkkejä,
   normiavaruus on metrinen avaruus

• ke 21.1. Lisää esimerkkejä metriikoista, kuulat ja pallot, esimerkkejä kuulista ja palloista, kahden joukon välinen etäisyys sekä joukon läpimitta metrisessä avaruudessa,
   esimerkkejä ja ominaisuuksia

• ma 26.1. Rajoitetut joukot. (Luku 3.) Avoin joukko, esimerkkejä ja perusominaisuuksia: avoimien joukkojen yhdiste on avoin, äärellisen monen
   avoimen joukon leikkaus on avoin

• ke 28.1. Lisäesimerkkejä avoimista joukoista, pisteen ja joukon ympäristöt, erakkopiste ja diskreetti joukko. (Luku 4.) Jatkuva kuvaus metristen avaruuksien välillä: määritelmä ja ensimmäiset esimerkit

• ma 2.2. Esimerkkejä jatkuvista kuvauksista, Lipschitz-kuvaukset ja jatkuvuus. Esimerkki: jatkuva kuvaus joka ei ole Lipschitz. Kuvauksen jatkuvuus ympäristöjen avulla

• ke 4.2. Jatkuva kuvaus ja avoimien joukkojen alkukuvat, yhdistetyn kuvauksen jatkuvuus. (Luku 5.) Jatkuva kuvaus normiavaruuteen: summa- ja tulokuvauksen jatkuvuus, esimerkkejä; projektiokuvauksen jatkuvuus ja sovelluksia

• ma 9.2. Komponenttikuvaukset ja kuvauksen f jatkuvuus metrisestä avaruudesta X euklidiseen avaruuteen R^n. (Luku 6.) Suljettu joukko, perusominaisuuksia ja esimerkkejä

• ke 11.2. Joukon sulkeuma: perusominaisuuksia; kuvauksen jatkuvuuden karakterisointi sulkeuman ja suljettujen joukkojen avulla; lisää esimerkkejä suljetuista joukoista

• ma 16.2. Erillisten suljettujen joukkojen separointi ympäristöillä; joukon kasautumispiste, joukon sulkeuman karakterisaatio sen kasautumispisteiden avulla

• ke 18.2. (Luku 7.) Relatiivitopologia: osajoukon A avoimien ja suljettujen joukkojen karakterisaatio; kuvauksen jatkuvuuden päätteleminen rajoittumakuvausten jatkuvuudesta (monisteen Lause 7.13)

2. periodi alkaa ma 9.3.

• ma 9.3. (Luku 8.) Annetun joukon sisäpiste, ulkopiste ja reunapiste. Joukon sisus (= sisäpisteiden joukko) ja reuna. Esimerkkejä ja ominaisuuksia

• ke 11.3. Kertausta: bijektio ja kääänteiskuvaus. (Luku 9.) Homeomorfismi ja homeomorfiset avaruudet. Upotus. Esimerkkejä ja perusominaisuudet. Homeomorfismi säilyyttää avoimet joukot (ja siten topologiset käsitteet)

• ma 16.3. Homeomorfismit säilyttävät topologiset ominaisuudet. Bilipschitz-kuvaukset ja isometriat: ominaisuuksia ja esimerkkejä. (Luku 10) Metriikkojen ekvivalenssi

• ke 18.3. Esimerkkejä ekvivalenteista metriikoista ja normeista. Jokainen metriikka on ekvivalentti rajoitetun metriikan kanssa (Huom. monisteen kohdat 10.8-10.15
   ei käsitellä). (Luku 11.) Pistejonon raja-arvo metrisessä avaruudessa: määritelmä ja esimerkkejä. Sulkeuman karakterisaatio jonojen avulla.

• ma 23.3. Jatkuvuuden karakterisaatio suppenevien jonojen avulla. Jonon suppeneminen euklidisessa avaruudessa R^n. Summajono ja skalaarijonolla kertominen normiavaruudessa. Jonon kasautumisarvot.

• ke 25.3. Osajonot ja kasautumisarvot. Funktiojonon tasainen ja pisteittäinen suppeneminen. Jatkuvuus säilyy tasaisessa suppenemisessa (Lause 11.24). Kuvauksen raja-arvo pitkin joukkoa. Sovellus: jatkuvan kuvauksen jatkuva jatke joukon sulkeumaan (Lause 11.33)

• ma 30.3. (Luku 12.) Cauchy-jonot ja täydellinen metrinen avaruus. Esimerkkejä: R^n on täydellinen tavallisessa metriikassa kun n = 1, 2, ... (tapaus n = 1: täydennys Analyysi I kurssin tietoihin). Kontraktiokuvaus

• ke 1.4. Banachin kiintopistelause. Tasainen jatkuvuus: määritelmä ja esimerkkejä. Sovellus: tasaisesti jatkuvan kuvauksen laajentaminen määrittelyjoukon sulkeuman (Lause 12.15). (Luku 13.) Kompakti metrinen avaruus: määritelmä.

• ma 6.4. Jokaisella reaalilukujonolla on monotoninen osajono, ja jokaisella rajoitetulla reaalilukujonolla on suppeneva osajono. R:n suljettu ja rajoitettu väli on kompakti. Kompakti osajoukko on suljettu. Kompakti avaruus on rajoitettu. R^n:n osajoukko on kompakti jos ja vain jos se on suljettu ja rajoitettu (Heine-Borel). Esimerkkejä.

• ke 8.4. Bolzano-Weierstrassin lause: kompaktin avaruuden äärettömällä osajoukolla on aina kasautumispiste. Kompaktissa avaruudessa määritelty jatkuva reaaliarvoinen kuvaus saa suurimman ja pienimmän arvonsa: esimerkkejä ja sovelluksia. Kompaktin avaruuden jatkuva kuvaus on tasaisesti jatkuva.

• ma 20.4. (Luku 14) Yhtenäinen ja epäyhtenäinen metrinen avaruus (ja osajoukko). Epäyhtenäisyyden yhtäpitäviä muotoiluja. Yhtenäisen joukon sulkeuma on edelleen yhtenäinen.

• ke 22.4. Yhdiste yhtenäisistä joukoista säilyy yhtenäisenä jos joukoilla on yhteinen piste (14.12). Reunanylityslause. Lukusuoran R osajoukko E on yhtenäinen jos ja vain jos E on väli tai yksiö. Yhtenäisen joukon kuva jatkuvassa kuvauksessa on yhtenäinen. Sovellus: Bolzanon lauseen yleistys (14.19).

Kurssiin liittyviä lisäesimerkkejä ratkaisuineen löytyy myös vanhalta kotisivulta TopologiaI2005.
 Paperikopiot myös huoneen C327 kansiossa Topologia I 2005

Kokeet ja mallivastaukset:

1. kurssikoe ja Mallivastaukset 1. kurssikoe
1. kurssikoe (korvaava) ja Mallivastaukset 1. kurssikoe (korvaava)
2. kurssikoe ja Mallivastaukset 2. kurssikoe
Erilliskoe 3.03.09
Erilliskoe 12.05.09 ja Mallivastaukset
Erilliskoe 11.06.09 ja Mallivastaukset
Erilliskoe 13.08.09