Analyysi II, kevät 2010
Analyysi II, kevät 2010
Luennoitsija
Laajuus
10 op.
Tyyppi
Perusopintoja.
Esitietovaatimukset
Kurssin opiskelun edellytyksenä on kurssin Analyysi I keskeisten asioiden osaaminen. Tärkeintä on raja-arvon käsitteiden "epsilon-määritelmän" käytön hallitseminen sekä supremumin ja infimumin käsitteiden osaaminen.
Lisäpisteitä
Kurssilla voi saada lisäpisteitä laskuharjoituksista ja ohjauksista.
Laskuharjoituksista saa 4 pistettä, jos laskettu vähintään 50 tehtävää;
3 pistettä, jos laskettu alle 50 mutta vähintään 40 kpl; 2 pistettä,
jos laskettu alle 40 mutta vähintään 30 kpl; ja 1 piste, jos laskettu
alle 30 mutta vähintään 20 kpl kevään tehtävistä.
Ohjauksiin osallistumisesta on saa lisäpisteitä näin: jos osallistuu 22.3. alkaen 4-6
ohjaukseen, niin saa 2 lisäpistettä ja osallistumalla 3 ohjaukseen saa yhden lisäpisteen.
Kurssin keskeinen sisältö
Kurssi jakautuu seuraaviin osiin
1. Riemannin integraalit
Toisin kuin koulussa, pääpaino on määrätyn (Riemannin) integraalin käsitteellä. Integraalifunktiot tulevat paljolti näiden sivutuotteina.
Kurssi alkaa lyhyen johdattelun jälkeen samanaikaisesti kahdella teemalla, joita opiskellaan rinnakkain
- Integraalien laskeminen: otetaan "analyysin peruslause" käyttöön ennen kuin se voidaan todistaa ja tutustutaan osittaisintegrointiin ja sijoitusmenetelmään (molempiin määrättyjen integraalien tapauksessa.) Tällä pyritään siihen, että käytännön integrointitaidon kehittymiselle saadaan enemmän aikaa.
- Riemannin integraalin määrittelyprosessi. Yhtenä huipentumana tästä ponnistelusta on tulos: jokainen jatkuva funktio on jonkin funktion derivaattafunktio. (Huomaa, että jatkuvat funktiot saattavat olla hyvinkin "häijyjä": on olemassa sellaisia jatkuvia funktioita, joilla ei ole yhdessäkään kohtaa derivaattaa.)
2. Epäoleelliset integraalit
Nämä ovat Riemannin integraalien raja-arvoja tilanteissa, missä syystä tai toisesta Riemannin integraalin käsite ei ole käytettävissä. Keskeinen kysymys koskee epäoleellisten integraalien suppenemista: ko. raja-arvojen olemassaoloa.
3. Sarjat
Äärettömän monen luvun summa ei sinänsä tarkoita mitään. Sarjateoriassa tätä yritetään kiertää tutkimalla äärellisten (osa)summien muodostamien lukujonojen suppenemista.
Tavallaan sarjateoria on Analyysi I -kurssin lukujonoja koskevan osuuden jatkoa uusin merkinnöin. Erityisesti tämä merkitsee sitä, että lukujonoja koskevat tiedot
kannattaa kerrata huolella. Osoittautuu, että monet hämmentävän näköiset sarjoja
koskevat ajatukset ovat itse asiassa todella helppoja lukujonojen ominaisuuksia.
4. Funktiojonojen (tasainen) suppeneminen
Nyt tutkitaan jonoja, joiden jäsenet ovat funktioita. Tavallaan on kyse siitä,
että jokaisen x kohdalla on oma lukujononsa, jonka suppenemista voidaan tutkia.
Jos näillä kaikilla on raja-arvo, sanotaan, että funktiojonomme suppenee pisteittäin.
Ennen kaikke pohditaan sitä, milloin raja-arvona saatava funktio on jatkuva tai muuten "siisti". Tässä astuu kuvaan tasaisen suppenemisen käsite, joka tavallaan vaatii, että suppeneminen on jokaisen x kohdalla yhtä nopeaa.
5. Potenssisarjat
Tässä yhdistyvät kurssin osuudet 3 ja 4. Tutkitaan "funktiosarjoja", joiden osasummat ovat polynomeja geometrisen sarjan osasummien tapaan.
Itse asiassa geometrinen sarja on monella tavalla kaikkein tärkein esimerkki.
6. Taylorin polynomit ja sarjat
Tässä jaksossa tutkitaan eniten sitä, miten funktioita voi jäljitellä sellaisilla
polynomeilla, joiden kertoimet määräytyvät funktion derivaatoista.
Taylorin polynomeihin johdutaan oikeastaan jo alkukeväästä muutamassa osittais-
integrointia koskevassa harjoitustehtävässä.
Taylorin polynomien avulla saadaan kiinnostavat yleistykset syksyn kurssin
väliarvolauseelle ja karakterisaatiolauseelle. Näiden avulla voidaan laskea mm.
likiarvoja sellaisille integraaleille, joiden tarkkaa arvoa emme pysty laskemaan sekä selvittämään hankalia raja-arvokysymyksiä.
Kurssin Analyysi II sisältö saattaa ensi silmäyksellä tuntua hajanaiselta. Luennoilla ja
kurssin Moodlessa (ks. alle) tullaan keskustelemaan "Analyysin peruskysymyksestä", mikä on
(eräs) näkökulma, joka sitoo kevään ohjelmamme loogiseksi kokonaisuudeksi.
Luentoajat
Viikot 3-8 ja 11-17 ti 12-14, to 12-14, pe 9-11 A111. Lisäksi 2 viikkotuntia ohjauksia ja 2 viikkotuntia laskuharjoituksia.
Pääsiäisloma 1.-7.4.
Kokeet
- 1. kurssikoe 4.3. 13-15 Exactumin auditorioissa
- 2. kurssikoe 6.5. 13-15 Exactumin auditorioissa
Kirjallisuus
Kurssilla käytetään Jouni Kankaanpään kirjoittamaa monistetta, jota myydään hintaan 7,5 € Exactumissa
olevassa yliopistopainon toimistossa.
(Kurssimateriaali löytyy sähköisessä muodossa osoitteesta
http://mathstat.helsinki.fi/kurssit/difint12/2001/
Tuo nettisivu liittyy kurssiin vanhalla nimellä Differentiaali- ja integraalilaskena I.2.
Siellä on tietoja mm. koeajoista ja harjoitusten pitäjistä, mitkä eivät tietenkään ole enää
paikkansapitäviä.)
Lauri Myrbergin kirja Differentiaali- ja integraalilaskenta I - II on oivaa oheisluettavaa.
Analyysi II -kurssin Moodle
Kurssin käytössä on Moodle-työalue osoitteessa
http://www.geom.pro/moodle/course/view.php?id=8
Siellä keskustellaan kaikesta kurssin opiskelua koskevasta. Mm. laskuharjoitustehtävien ratkaisemisesta.
(Tehtävät ja niiden malliratkaisut tulevat tänne kurssin kotisivulle.)
HUOM: Kurssin Moodlen osoite on muuttunut teknisistä syistä! Ensimmäisellä käynnillä tarvitaan
"enrollment key", joka on: AnalyysiII
Ilmoittaudu
Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.
Laskuharjoitukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | ke | 14-16 | C322 | Tiina Kainulainen |
2. | ke | 16-18 | C322 | Rami Luisto |
3. | to | 8-10 | C322 | Laura Tuohilampi |
4. | to | 10-12 | C322 | Laura Tuohilampi |
5. | to | 14-16 | C322 | Tiina Kainulainen |
6. | to | 14-16 | C129 | Rami Luisto |
7. | to | 16-18 | C322 | Tiina Kainulainen |
8. | pe | 11-13 | C322 | Anna-Riikka Leppäranta |
9. | pe | 12-14 | C122 | Aapo Tevanlinna |
10. | pe | 15-17 | C322 | Aapo Tevanlinna |
Opelinjalaisten laskarit:
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
12. | ke | 14-16 | C323 | Anna Kairema |
Ohjaukset
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
1. | ma | 10-12 | C322 | Rami Luisto |
2. | ma | 12-14 | C322 | Santeri Miihkinen |
3. | ma | 16-18 | C322 | Riikka Tuovinen |
4. | ti | 8-10 | C322 | Aapo Tevanlinna |
5. | ti | 10-12 | C322 | Santeri Miihkinen |
6. | ti | 14-16 | C322 | Riikka Tuovinen |
7. | ti | 16-18 | C322 | Riikka Tuovinen |
8. | ke | 8-10 | C322 | Laura Tuohilampi |
9. | ke | 10-12 | C322 | Anna-Riikka Leppäranta |
10. | ke | 12-14 | C322 | Anna-Riikka Leppäranta |
Opelinjalaisten ohjaus:
Ryhmä | Päivä | Aika | Paikka | Pitäjä |
|---|---|---|---|---|
12. | ma | 10-12 | B120 | Anna Kairema |
Laskuharjoitustehtävät
Ohjaustehtävät
Laskuharjoitusteten ratkaisuja
Ohjaustehtävien ratkaisuja
Kertaustehtäviä
Kurssikoeiden ratkaisuja
Oheisluettavaa