Topologia II, kevät 2012: luentopäiväkirja

Numeroidut viittaukset alla kohdistuvat oppikirjan (Väisälä: Topologia II) 2. painokseen (2005). Kirjan 1. painoksen numerointi saattaa poiketa tästä hieman.

Viikko 17

Urysonin lemma ja upotuslause. Metristys. Tietzen jatkolause. Yhtenäisen avaruuden ja joukon määritelmät. Kirjan jakso 19 (ei 19.6) ja kohdat 20.1-20.3 sekä 13.1-13.6.

Viikko 16

Lokaali kompaktius. Bairen lause lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa. Yhden pisteen kompaktisointi. Tihonovin lause. Kirjan kohdat 17.1-17.9, 18.4 ja 18.5.

Viikko 15

Pääsiäisloma, ei luentoja.

Viikko 14

Kompakti avaruus. Heine-Borelin lause. Kompaktius Hausdorffin avaruudessa. Kompaktius ja jatkuva kuvaus. Jonokompaktius. Kompaktiuden ja jonokompaktiuden ekvivalenssi metrisessä avaruudessa. Kirjan kohdat 15.1-15.7, 15.10-15.22, 15.26 ja 16.1-16.5.

Viikko 13

N1- ja N2-ominaisuus (jatkoa). Lindelöf-ominaisuus. Separoituvuus. Numeroituvuusaksiomien yhtäpitävyys metristyvässä avaruudessa. Kirjan kohdat 12.7-12.23.

Viikko 12

Erotteluaksiomat. Numeroituvuuden käsite. N1- ja N2-ominaisuus. Kirjan jakso 11 ja kohdat 12.1-12.6.

Viikko 11

Metriset ja metristyvät avaruudet. Täydellisyys ja Bairen lause. Tasainen suppeneminen. Kirjan jakso 10, ei kuitenkaan kohtia 10.7, 10.11.3 ja 10.16-10.20.

Viikko 10

Väliviikko, ei opetusta.

Viikko 9

Koindusointi (jatkoa). Ositus ja ekvivalenssirelaatio. Kuvauksen kanoninen hajotelma. Tekijäavaruus. Kirjan jakso 8 loppuun ja jakso 9 (ei kohtia 9.13 ja 9.14).

Viikko 8

Tulotopologia (jatkoa). Tulotopologia ja kuvaukset: komponenttikuvaus ja tulokuvaus. Koindusointi. Kirjan kohdat 7.7, 7.9, 7.10, 7.13, 7.19 ja 7.20 (huom. käsittelemättä jäivät mm. kompakti-avoin topologia, Cantorin joukko ja inverssi raja). Lisäksi kirjan kohdat 8.1-8.4.

Viikko 7

Kuvauksen rajoittuma (jatkoa). Upotus. Indusointi kuvausperheen avulla. Esimerkkinä normiavaruuden heikko topologia. Tulotopologia. Kirjan kohdat 5.13-5.16, luku 6 ja kohdat 7.1, 7.3-7.6, 7.11, 7.12, 7.14 ja 7.15.

Viikko 6

Avoin ja suljettu kuvaus (jatkoa). Homeomorfismi. Topologian indusointi yhden kuvauksen avulla. Relatiivitopologia. Kuvauksen rajoittuma. Kirjan kohdat 3.9-3.13, luku 4 ja kohdat 5.1-5.12.

Viikko 5

Esikanta, viritys ja ympäristökanta. Jonojen suppeneminen. Jatkuva kuvaus ja siihen liittyviä peruslauseita. Avoin ja suljettu kuvaus. Kirjan kohdat 2.13-2.20, 3.1-3.8 (ei 3.7) ja 3.14.

Viikko 4

Lisää peruskäsitteitä. Topologian kanta ja kantalause. Esimerkkinä mm. R:n "puoliavoin topologia". Kirjan kohdat 1.11-1.15 ja 2.1-2.12; ei kohtaa 2.11.2 (järjestystopologia).

Viikko 3

Topologinen avaruus ja siihen liittyviä peruskäsitteitä. Suhde metriseen avaruuteen. Kirjan kohdat 1.1-1.10.