Topologia II, kevät 2012: luentopäiväkirja
Numeroidut viittaukset alla kohdistuvat oppikirjan (Väisälä: Topologia II) 2. painokseen (2005). Kirjan 1. painoksen numerointi saattaa poiketa tästä hieman.
Viikko 16
Lokaali kompaktius. Bairen lause lokaalisti kompaktissa Hausdorffin avaruudessa. Yhden pisteen kompaktisointi. Tihonovin lause. Kirjan kohdat 17.1-17.9, 18.4 ja 18.5.
Viikko 15
Pääsiäisloma, ei luentoja.
Viikko 14
Kompakti avaruus. Heine-Borelin lause. Kompaktius Hausdorffin avaruudessa. Kompaktius ja jatkuva kuvaus. Jonokompaktius. Kompaktiuden ja jonokompaktiuden ekvivalenssi metrisessä avaruudessa. Kirjan kohdat 15.1-15.7, 15.10-15.22, 15.26 ja 16.1-16.5.
Viikko 13
N1- ja N2-ominaisuus (jatkoa). Lindelöf-ominaisuus. Separoituvuus. Numeroituvuusaksiomien yhtäpitävyys metristyvässä avaruudessa. Kirjan kohdat 12.7-12.23.
Viikko 12
Erotteluaksiomat. Numeroituvuuden käsite. N1- ja N2-ominaisuus. Kirjan jakso 11 ja kohdat 12.1-12.6.
Viikko 11
Metriset ja metristyvät avaruudet. Täydellisyys ja Bairen lause. Tasainen suppeneminen. Kirjan jakso 10, ei kuitenkaan kohtia 10.7, 10.11.3 ja 10.16-10.20.
Viikko 10
Väliviikko, ei opetusta.
Viikko 9
Koindusointi (jatkoa). Ositus ja ekvivalenssirelaatio. Kuvauksen kanoninen hajotelma. Tekijäavaruus. Kirjan jakso 8 loppuun ja jakso 9 (ei kohtia 9.13 ja 9.14).
Viikko 8
Tulotopologia (jatkoa). Tulotopologia ja kuvaukset: komponenttikuvaus ja tulokuvaus. Koindusointi. Kirjan kohdat 7.7, 7.9, 7.10, 7.13, 7.19 ja 7.20 (huom. käsittelemättä jäivät mm. kompakti-avoin topologia, Cantorin joukko ja inverssi raja). Lisäksi kirjan kohdat 8.1-8.4.
Viikko 7
Kuvauksen rajoittuma (jatkoa). Upotus. Indusointi kuvausperheen avulla. Esimerkkinä normiavaruuden heikko topologia. Tulotopologia. Kirjan kohdat 5.13-5.16, luku 6 ja kohdat 7.1, 7.3-7.6, 7.11, 7.12, 7.14 ja 7.15.
Viikko 6
Avoin ja suljettu kuvaus (jatkoa). Homeomorfismi. Topologian indusointi yhden kuvauksen avulla. Relatiivitopologia. Kuvauksen rajoittuma. Kirjan kohdat 3.9-3.13, luku 4 ja kohdat 5.1-5.12.
Viikko 5
Esikanta, viritys ja ympäristökanta. Jonojen suppeneminen. Jatkuva kuvaus ja siihen liittyviä peruslauseita. Avoin ja suljettu kuvaus. Kirjan kohdat 2.13-2.20, 3.1-3.8 (ei 3.7) ja 3.14.
Viikko 4
Lisää peruskäsitteitä. Topologian kanta ja kantalause. Esimerkkinä mm. R:n "puoliavoin topologia". Kirjan kohdat 1.11-1.15 ja 2.1-2.12; ei kohtaa 2.11.2 (järjestystopologia).
Viikko 3
Topologinen avaruus ja siihen liittyviä peruskäsitteitä. Suhde metriseen avaruuteen. Kirjan kohdat 1.1-1.10.