Child pages
  • Funktionaalianalyysi II, syksy 2011

Versions Compared

Key

  • This line was added.
  • This line was removed.
  • Formatting was changed.
Comment: Migrated to Confluence 4.0

...

Tehtäväsetin 4 painovirhe tehtävässä 5.-6. on korjattu, alla uusi versio.
Loppuvuoden ohjelma:

  • Toinen välikoe on to 15.12. klo 13-15 sali A111
  • 4. laskuharjoitussetti palautetaan viimeistään 13.12 luennon alussa.
  • Ylimääräinen luento ma 5.12. klo 14-16 sali B120
  • Ylimääräinen luento pe 9.12. klo 14-16 sali C123
  • Keskiviikkona 14.12 klo 16 osallistumme laitoskollokvioon. Aihe liittyy läheisesti kurssiin!

2. välikokeeseen valmistaudutaan siten, että pe 9.12 luennolla käydään läpi 3. laskuharjoituksen tehtäviä ja ti 13.12 luennolla 4. laskuharjoituksen tehtäviä. Muilla luennoilla käsitellään jäljellä olevaa teoriaosuutta.

...

Kurssin teema on Funktionaalianalyysin sovellutukset. Keskeiset aihepiirit ovat distribuutioteoria ja Sobolev-avaruudet. Distribuutioteorian sovellutukset Fourier-muunnoksen teoriaan täydentää luentosarjan "Fourier-analyysi" materiaalia.

  • Distribuutioteoriassa määritellään Diracin mitat, joita sanotaan myös yleistetyiksi funktioiksi. Esimerkiksi reaaliakselin pisteen 0 Diracin mittaa voidaan havainnollistaa ko. pisteeseen keskittyneellä, ykkösen suuruisella massalla. Diracin mittojen avulla voidaan esimerkiksi derivoida epäjatkuvia funktioita ns. distribuutioderivaattoina. Distribuutioderivaatat puolestaan liittyvät osittaisdifferentiaaliyhtälöiden (ODY) heikkoihin (tai yleistettyihin) ratkaisuihin, ja niillä on keskeinen rooli monissa ODY:jen ratkaisumenetelmissä.
  • Sobolev-avaruudet muodostuvat funktioista, joiden distribuutioderivaatat kuuluvat sopiviin Lp-avaruuksiin. Sobolev-avaruusmenetelmä elliptisille ODY-reunaongelmille on yksinkertaisessa erikoistapauksessa hahmoteltu Funktionaalianalyysin peruskurssilla, mutta tällä kurssilla käydään asiat läpi yksityiskohtaisemmin ja yleisemmissä, sovellutusten kannalta kiinnostavissa tapauksissa.
  • Fourier-muunnos on lineaaristen ODY:jen klassinen perustyökalu, sillä esimerkiksi lineaarisen lämpöyhtälön Cauchyn probleema ratkeaa triviaalisti ottamalla Fourier-muunnos. Fourier-muunnoksen käsittelyssä tarvitaan myös distribuutioteoriaa: vakiofunktion Fourier-muunnos on pisteen 0 Diracin mitta kertaa normitusvakio.

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 ti 12-14 C123, ke 16-18 C123. Laitoskollokviopäivinä poikkeusjärjestely.

...