Funktionaalianalyysin peruskurssi, kevät 2011

Luennoitsija

Jari Taskinen

Ajankohtaista

2. kurssikoe to 5.5. klo 13-15 sali A111. Korvaava koe tälle järjestetään ma 9.5. klo 13-15 sali A111. Tähän voi osallistua, jos 1) on osallistunut 1. kurssikokeeseen ja 2) pätevästä syystä (sairaus, toinen tentti tms.) on estynyt osallistumasta 5.5. kokeeseen. Korvaavaan kokeeseen tulevien on ilmoittauduttava sähköpostilla luennoitsijalle, mukaan selitys esteestä.

Kurssin perustietoja

Kurssin laajuus on 10 op. Se kuuluu syventäviin opintoihin. Esitietovaatimuksina on yhden ja useamman muuttujan differentiaali- ja integraalilaskenta, lineaarialgebra, metristen avaruuksien alkeet, mitta- ja integrointiteorian alkeet.

Kurssin sisältö

Banach-ja Hilbert-avaruuksien sekä niiden lineaaristen operaattoreiden perusteet:
Normiavaruus, täydellisyys, Banach-avaruus, konkreettiset esimerkit
Hölderin epäyhtälö, Minkowskin epäyhtälö
Hilbert-avaruus, ortogonaalinen projektio ja ortonormaalit kannat
Rajoitettu lineaarinen operaattori
Duaaliavaruus
Hahn-Banachin lauseet
Banach-Steinhausin lause
Avoimen kuvauksen ja suljetun kuvaajan lauseet

Täydentävää materiaalia:
Optimointi Hilbert-avaruudessa
Kompaktisuus ja kompaktit operaattorit
Fourier-sarjojen suppeneminen
Operaattorin adjungaatti
Heikko derivaatta ja Sobolev-avaruus
Weierstrassin approksimaatiolause

Ajan salliessa tutustutaan lyhyesti myös seuraaviin aiheisiin:
Heikko topologia
Projektiot Banach-avaruuksissa ja komplementoidut aliavaruudet
Banach-avaruuksien kannat
Riesz-Fredholmin teoria
Kompaktin itseadjungoidun operaattorin spektraaliesitys

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 14-16 C124, ke 12-14 C123.

Pääsiäisloma 21.-27.4.

Kokeet

Kaksi kurssikoetta, 3. ja 4. periodin lopussa. 1.kurssikoe to 3.3. klo 13-15 sali A111, ja 2.kurssikoe to 5.5. klo 13-15 sali A111. Kurssin suorittamiseksi on tavanomaisen yhteenlasketun minimipistemäärän lisäksi kummastakin kokeesta erikseen saatava minimipistemäärä 6/24.

Kurssimateriaali ja oheiskirjallisuus

Funktionaalianalyysin peruskurssi, luentomoniste.

Rynne, B., Youngson, M., Linear Functional Analysis, Springer Undergraduate Mathematics Series, London, 2000.
Friedman, A., Foundations of Modern Analysis, Dover 1982.
Maddox, I.J., Elements of Functional Analysis, Cambridge University Press, 1977.
Rudin, W., Functional Analysis. McGraw Hill 1974.
Brezis, H., Analyse fonctionnelle, Masson, Paris 1993.
Werner, D., Funktionalanalysis, Springer Lehrbuch 1990.

Laskuharjoitustehtävät

Jokaisessa laskuharjoituksessa on (pääsääntöisesti) neljä tehtävää.

Harjoitus 1
Harjoitus 2
Harjoitus 3
Harjoitus 4
Harjoitus 5
Harjoitus 6
Harjoitus 7
Harjoitus 8
Harjoitus 9
Harjoitus 10
Harjoitus 11
Harjoitus 12
Harjoitus 13

Lisäpisteet suoritetuista laskuista: 25 % = 1 piste, 35 % = 2 pistettä, 45 % = 3 pistettä, 55 % = 4 pistettä, 65 % = 5 pistettä, 75 % = 6 pistettä. Nämä lisätään kurssikokeiden (max. 2 x 24 pistettä) pisteisiin.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset