Page History

...

Lokikirja

ti 25.1 Lukuteorian historiaa, alkuluvut, jaollisuuden perusominaisuudet. Jakojäännöslause. Suurimman yhteisen tekijän olemassaolo.

ke 26.1 Pienin yhteinen jaettava, aritmetiikan
peruslause, kahden muuttujan lineaarinen Diofanteen yhtälö, Eukleideen algoritmi. Kongruenssit (alkua).

pe 28.1 Kongruenssien laskusäännöt, esimerkkejä. Yhdeksällä (tai kolmella) jaollisuuden sääntö. Lyhyt kertaus algebrasta: ryhmät, monoidit, kommutatiiviset renkaat, kokonaislaueet, kunnat. Jäännösluokat (mod m).

ti 1.2 Jäännösluokat. Taydelliset jäännössysteemit ja niiden karakterisointi. Rengas Z_m, milloin se on kunta. Fermat'in pieni lause.

ke 2.2 Eulerin phi-funktio. Phi-funktion multiplikatiivisuus. Inkluusion ja ekskluusion periaate. Renkaan Z_m yksiköt. Supistetut jäännössysteemit.

pe 4.2 Eulerin yleistys Fermat'in pienelle lauseelle. Lisää phi-funktion ominaisuuksia. Sovellus: RSA-salausmenetelmä. Kiinalainen jäännöslause (alkua).

tu 8.2 Kiinalainen jäännöslause. Yleistyksiä. Renkaan Z_m rakenteesta. Lagrangen lause polynomikongruenssin juurten määrästä.

ke 9.2 Lagrangen lause (jatkoa) Z_p:n kautta. Kongruenssin juurten määrä kun polynomi on x^d-1. Wilsonin lause.

pe 11.2 Polynomikongruessit yhdistetyn modulin suhteen.

ti 15.2 Luvun aste (mod m). Primitiiviset juuret. Annettuun eksponenttiin kuuluvien lukujen määrä. Primitiivisten juurten olemassaolo.
Luvun 1/p desimaalikehitelmän jakson pituus.

ke 16.2 Gaussin ongelma primitiivisista juurista. Kvadraattiset kongruenssit. Palautus partittomiin alkulukumoduleihin. Neliönjäännökset ja -epäjäännökset.

pe 18.2 Legendren symboli. Eulerin kriteerio. Symboli (-1/p). Legendren symbolin laskusäännöt. Alkulukujen määrä aritmeettisissa jonoissa 4n+1 ja 4n-1. Gaussin lemma.

ti 1.3 Symboli (2/p). Gaussin lemman toinen muoto. Kvadraattinen resiprookkilause.

ke 2.3 Yleinen toisen asteen kongruenssiyhtälä. Irrationaaliluvuista. Dirichletin lause rationaaliapproksimaatioista.

ma 21.3 Rationaaliapproksimaatioista (jatkoa). Pellin yhtälön ratkaisun olemassaolo.

ti 22.3 Pellin yhtälön yleinen ratkaisu. Algebralliset luvut. Transkendenttiluvut. Liouvillen lause ja transkendenttilukujen eksplisiitinen konstruktio.

ti 29.3 Ketjumurtoluvut. Rationaaliluvun ketjumurtokehitelmä Eukleideen algoritmin avulla. Esimerkkejä. Rekursiokaavat konvergenttien osoittajille ja nimittäjille.

ke 30.3 Ketjumurtolukujen knovergenssi. Tarkka virhearvio. Esimerkkejä. Bijektiivinen vastaavuus irrationaalilukujen ja päättymättömien ketjumurtolukujen välillä.

pe 1.4 Ketjumurtoluvut parhaina approksimaatioina.

ti 5.4 Pellin yhtälön ratkaisu ketjumurtoluvuilla. Lagrangen lause jaksollisista ketjumurtoluvuista.

ke 6.4 Lagrangen lause jaksollisista ketjumurtoluvuista (jatkoa). Esimerkkejä Diofanteen yhtälöistä. Pythagoraan lukukolmikoiden määrääminen. Gaussin kokonaisluvut Zi ja rationaaliluvut. Normi, yksiköt. Jaollisuus. Liitännäisluvut.

pe 8.11 Gaussin alkuluvut. Renkaan Zi Euklidisuus. Suurimman yhteisen tekijän olemassaolo.
Alkutekijöihin jaon yksikäsitteisyys renkaassa Zi. Esimerkkejä.

ti 12.4 Gaussin alkulukujen määrääminen. Lukujen esitys kahden neliön summana

ke 13.4 Lukujen esitys kahden neliön summana: esitysten lukumäärä. Lagrangen lause neljän neliön summista (alkua).

pe 14.4 Lagrangen lause neljän neliön summista.

FIN!

Logbook (for those whose follow the course in English)

Tu 25.1 Some history, prime numbers, basic riles of divisibility. Remainders. Existence of the greatest common divisor.

We 26.1 Smallest common divisor, fundamental theorem of arithmetic, linear equation with two variables, Euclidean algorithm.
congruences (start).

Fr 28.1 Calculus with congruences, examples. Divisibility by 9(or 3). Short recapitulation of basic notions of algebra: groups, monoids, commutative rings, integral domains, fields. Congruence classes (mod m).

Tu 1.2 Congruence classes. Complete residue systems and their characterizations. Ring Z_m, when it is a field. Fremat's little theorem.

We 2.2 Euler's phi-function, and its multiplicativity. Principle of exclusion and inclusion. Units of the ring Z_m. Reduced residue systems.

Fr 4.2 Euler's generalization of Fermat's little theorem. More properties of phi-function. Application: RSA-coding system. Chinese rmainder theorem (beginning).

Tu 8.2 Chinese remainder theorem. Generalizations. On sthe structure of the ring Z_m. Lagrange's theorem on the numbers of solution to polynimial congruences.

We 9.2. Lagrange's theorem continued, approach through Z_p. Number of solution of the conguence with the polynomial x^d-1. Wilson's theorem.

Fr 11.2 Polynomial conguenecs with respect to non-prime moduli.

Tu 15.2 Order (mod m). Primitive root. Number of remaider classes that belong to a given exponent. Existence of primitive roots. Length of the period of decimal expansion of mumber 1/p.

We 16.2 The Gauss problem on primitive roots. Kvadratic congruences. Reduction to odd prime moduli. Quadratic residues an nonresidues.

Fr 18.2 Legendre's symbol. Euler's criterion. Symbol (-1/p). Computation rules for the Legendre symbol. Number of primes in the arithmetic sequences 4n+1 and 4n-1. Gauss' lemma.

Tu 1.3. Symbol (2/p). Second form of Gauss' lemma. Quadratic reciprocity theorem.

We 2.3 General second degree congruence equation. On irrational numbers. Dirichlet's theorem on approximation by rational numbers.

Mo 21.3 On rational approximations (continuation). Existence of solutions to Pell's equation.

Tu 22.3 General solution of pell's equation. Algebraic and transcendemtal numbers. Liouville theorem and explicit construction of transcendental numbers.

Tu 29.3 Continued fractions. Continued fractions of rational numbers via Euclid's algorithm. Examples. Recursion formulas for the numerators and denominators of convergents.

We 30.3 Convergence of continued fractions. Exact error estimate. Examples. Bijective correspondence between irrational numbers and infinite continued fractions.

Fr 1.4 Continued fractions as best approximations.

Tu 5.4 Solution of Pell's equation via continued fractions. Lagrange's theorem on periodic continued fractions.

We 6.4 Lagrange's theorem on periodic continued fractions (continued). Examples of Diophantine equations. Determination of Pythagorean number triples. Gaussian integers Zi and gaussian rational numbers. Norm, units, divisibility. Associate numbers.

Fr 8.4 Gaussian primes. Euclidean nature of Zi. Existence of greatest common divisor. Uniqueness of the prime number decomposition in Zi. Examples

Tu 12.4 Determination of Gaussian primes. Representation on integers as sums of two squares.

We 13.4 The number of representations of given number as sums of two squares. Lagrange's theorem on sums of four squares (beginning).

Fr 15.4 Lagrange's theorem on sums of four squares (continued).

FIN!