mathstatKurssit

Matematiikan ja tilastotieteen laitoksen kurssisivualue

Skip to end of metadata
Go to start of metadata

Autonomiset systeemit, syksy 2010

Luennoitsija

Lars Lamberg

Laajuus

10 op.

Tyyppi

Syventävä opinto

Kurssikuvaus

Autonominen systeeemi on tavallisten, yhden muuttujan differentiaaliyhtälöiden systeemi eli yhtälöryhmä. Sillä on erityisominaisuuksia, etenkin liittyen ratkaisujen dynamiikkaan. Autonomiset systeemit ovat tuiki tavallisia differentiaaliyhtälöiden sovelluksissa, tietysti perinteellisesti fysiikassa, mutta yhä laajemmin muuallakin. Keskeisimmistä sovellusalueista mainittakoon biomatematiikka, esimerkiksi populaatio- ja epidemiamallit. Ja soveltajat ovat usein kiinnostuneita juuri systeemin dynamiikasta. Kuten tunnettua, systeemi voidaan ratkaista eksplisiittisesti vain harvoin. Siitä huolimatta ratkaisujen dynaamisia ominaisuuksia voidaan tutkia, ja juuri tämä on kurssin aihe. Tällaista analyysiä kutsutaan laadulliseksi.

Dynamiikka pitää sisällään ainakin kaksi kiinnostuksen kohdetta. Ensinnäkin kysymyksen, josko systeemi eli systeemin ratkaisu kehittyy kohti jotain rajatilaa, laveasti ymmärrettynä. Tämä voi olla vaikka systeemin periodinen ratkaisu. Ongelman dimensio näyttelee asiassa suurta roolia, topologisista syistä. Kurssissa todistetaan taso-ongelman rajatilaa koskeva klasssikko, Poincarén-Bendixsonin lause.

Toinen kiinnostava ongelma on kysymys systeemin ratkaisujen stabiilisuudesta, siis jos ratkaisua hieman häiritään, alkuehtoa hieman muutetaan, pysyykö häiritty ratkaisu lähellä alkuperäistä aina hamaan loppuun asti (jonkin matkaahan näin käy, jatkuvuuden perusteella)? Tämä kysymys nousi tapetille viimeistään, kun Poincaré pyrki selvittämään, onko auringon, planeettojen ja muiden asiaan kuuluvien mötiköiden liikesysteemi iäti platonisen pysyvä. Hän päätyi ihmettelemään, ettei asia olekaan niin yksinkertainen kuin alkuun voisi luulla. Jos ottaa esimerkin vaikka epidemiologiasta, niin täysin terve populaatio on tasapainotila nolla sairastuneiden määrässä. Jos tämä tila on stabiili, ja populaatioon ilmaantuu muutama sairas, ei synny mitään epidemiaa, vaan tauti hiipuu vähin äänin. Jos tila on puolestaan epästabiili, niin epidemia syntyy vääjäämättä. On selvää, että tällaiset asiat kiinnostavat epidemiologeja, ja se, mikä kaikki asiaan vaikuttaa (systeemin parametrit, esimerkiksi rokotukset). Kurssissa todistetaan stabiilisuutta koskevia klassisia tuloksia Poincerélta, Perronilta ja Lyapunovilta.

Voisi muuten luonnehtia, että kurssi käy hyvästä esimerkistä, kuinka topologiset asiat ovat keskellä analyysiä.

Esitietovaatimukset

Perusanalyysi (kurssit Analyysi I ja II), mielellään differentiaaliyhtälöt (kurssit DY I ja II) ja perustopologia (Topo I). Jonkin verran tarvitaan lineaarialgebraa ja ehkäpä vektorianalyysiä, mutta lauseet näissä on helppo selittää aina kun niitä tarvitaan.

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 ti 10-12 B322, to 12-14 C123, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia. Alkaa ti 7.9, ensimmäiset laskarit ti  14.9.

Kokeet

Erilliskoe yleistenttipäivänä pe 17.12.2010 (8.30-12.30 salit A111 ja B123).

Kirjallisuus

Huom.: Luentokansio sittenkin huoneessa C127.

D.W.Jordan, P.Smith: Nonlinear Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford 1977,

R.K.Nagle, E.B.Saff, A.D.Snider: Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Pearson 2008,

F.Brauer, J.A.Nohel: The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations, Dover Publications, New York 1989,

F.Brauer, Castillo-Chávez: Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology, 2001,

J.K.Hale: Ordinary Differential Equations, Krieger, New York 1980.

Kurssi seuraa pääasiassa ensimmäisenä mainittua kirjaa.

Ilmoittaudu

Unohditko ilmoittautua? Mitä tehdä.

Laskuharjoitukset

Ryhmä

Päivä

Aika

Paikka

Pitäjä

1.

ti

12-14

B322

Lars Lamberg

Laskuharjoitustehtävät

Harjoitus 1
Harjoitus 2
Harjoitus 3
Harjoitus 4
Harjoitus 5
Harjoitus 6
Harjoitus 7
Harjoitus 8
Harjoitus 9
Harjoitus 10
Harjoitus 11
Harjoitus 12

  • No labels