Riemannin geometria

Kurssikoodi

57284

Tyyppi

Syventävä opinto.

Kurssisivut

Riemannin geometria, kevät 2007
Riemannian geometry, fall 2010

Kurssikuvaus

"Riemannin geometria" soveltuu valinnaiseksi erikoiskurssiksi matematiikan laudatur-oppimäärään Matemaatikon suuntautumisvaihtoehdossa.
Kurssilla tutustutaan Riemannin geometrian peruskäsitteisiin.

Mitä ovat differentiaaligeometria ja Riemannin geometria?

Karkeasti ottaen klassinen differentiaaligeometria käyttää differentiaalilaskentaa käyrien ja pintojen tutkimiseen tasossa tai (3-ulotteisessa) eukliidisessa avaruudessa, kun taas modernimmassa differentiaaligeometriassa tämä tutkiminen laajennetaan yleisimpiin avaruuksiin (eli monistoihin) sekä niiden alimonistoihin niin ikään käyttäen differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä. Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa. Siinä kuvaan astuu eräänlainen "metriikka", joka mahdollistaa mm. käyrien pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen ja erilaisten variaatio-ongelmien asettelun ja ratkaisemisen. Voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista. Kaarevuuden käsitteellä on erittäin tärkeä rooli Riemannin geometriassa, sillä kaarevuustensori pitää sisällään mm. informaatiota Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista ja topologiasta. Tämä kaarevuustensorin lokaalien ominaisuuksien ja Riemannin moniston globaalien ominaisuuksien yhteyden selvittäminen onkin yksi modernin Riemannin geometrian tärkeimmistä ongelmista.

Laajuus

10 op.

Esitietovaatimukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta II (Vektorianalyysi), Topologia I, Lineaarialgebra I, Johdatus differentiaaligeometriaan (tai vastaavat tiedot).
Topologia II:n, Lineaarialgebra II:n ja Differentiaaliyhtälöiden tuntemus on hyödyksi, muttei välttämätöntä.