Johdatus lukuteoriaan, syksy 2008

Luennoitsija

Eero Saksman

Ajankohtaista

Luennot ovat päättyneet, kiitokset kaikille kurssia seuranneille!
Keväällä 2009 kurssin voi uusia 3.3 tai 12.5. Ilmoittautuminen
vaaditaan hyvissä ajoin kansliaan.

Laskuharjoitustehtävät

RATKAISUEHDOTELMIA:

Kurssin lokikirja

ti 2.9: Lukuteorian historiaa, alkuluvut, jaollisuuden perusominaisuudet.

ke 3.9: Jakojäännöslause, suurin yhteinen tekijä, pienin yhteinen jaettava, aritmetiikan
peruslause, kahden muuttujan lineaarinen Diofanteen yhtälö.

ti 9.9: Eukleideen algoritmi: syt ja lineaarisen yhtälön ratkaisu. Kongruessit (mod m).
Kongruenssien laskusäännöt. Algebran kertausta (ryhmän, renkaan, kokonaisalueen
ja kunnan käsitteet)

ke 10.9: Algebran kertauksen jatkoa. Jäännösluokat ja niiden muodostama rengas Z_m.
Renkaan Z_m kunta kun m alkuluku. Täydelliset jäännössysteemit (mod m).

ti 16.9: Fermat'in pieni lause. Eulerin $\phi$-funktio. $\phi$-funktion multiplikatiivisyys.
Kaava $\phi$-funktiolle.

ke 17.9: Inkluusio ja ekskluusion periaate. Renkaan $Z_p$ yksiköt $Z_p^*.$ Supistetut
jäännössysteemit. Eulerin yleistys Fermat'in pienelle lauseelle. $\phi$-funktio
summattuna jakajien yli.

ti 24.9: RSA-salausmenetelmä. Kiinalainen jäännöslause.

ke 17.9 Polynomikongruenssit. Lagrangen lause polynomikongruenssin ratkaisujen lukumäärästä.

ti 30.9: Esimerkkejä polynomikongruensseista. Wilsonin lause. Polynomikongruenssit
yhdistetyn modulin suhteen.

ke 1.10: Polynomikongruenssit yhdistetyn modulin suhteen (jatkoa). Luvun aste ja
primitiiviset juuret.

ti 7.10: Luvun 1/p desimaalikehitelmä. Kvadraattiset kongruenssit. Palautus alkulukumoduleihin.

ke 8.10: Palautus alkulukumoduleihin (jatkoa). Neliönjäännökset ja -epäjäännökset. Eulerin kriteerio, Legendren symboli.
Symboli (-1/p).

pe 10.10: Legendren symbolin laskusäännöt. Gaussin lemma. Symboli (2/p). Gaussin lemman uusi muoto.

ti 28.10: Kertausta. Kvadraattinen resiprookkilause. Yleinen toisen asteen polynomikongruenssi.

ke 29.10: Diofanteen yhtälöiden historiaa. Esimerkkejä, mm. Pythagoraan lukukolmikoiden määräminen. Gaussin kokonaisluvut.
Normi, yksiköt. Liitännäisluvut.

pe 31.10: Gaussin alkuluvut, Gaussin kokonaislukurenkaan Euklidisuus, suurin yhteinen tekijä. Alkutekijöihin jaon yksikäsitteisyys Gaussin kokonaisluvuille.
Luvun tekijöiden etsiminen.

ti 4.11: Gaussin alkulukujen määrääminen. Lukujen esittäminen kahden neliön summana.

ke 5.11: Algebralliset lukukunnat (ilman todistuksia). Lagrangen lause esityksitä neljän neliön summana.

ti 11.11: Diofanteen approksimaatioteorian alkeet, Dirichletin aproksimaatiolause, Pellin yhtälön ratkaisu (alkua)

ke 12.11: Pellin yhtälön yleinen ratkaisu. Algebralliset luvut, transkendenttiluvut, Liouvillen lause algbrallisten lukujen approksimoinnista.

ti 18.4: Transkendenttilukujen konstruointi. Fareyn luvkujonot ja niiden muodostamissääntö.

ke 19.4: Hurwitzin lause parhaasta approksimaatiosta. Ketjumurtolukujen määritelmä. Esimerkkejä.

ti 25.11: Palautuskaavat ketjumurtolukujen konvergenteille. Ketjumurtoluvun konvergenssi.

ke 26.11: n:nnen konvergentin virhearvio, esimerkkejä. Parhaat approksimaatiot, niiden yhtyminen konvergentteihin (ilman todistusta)

ti 2.12: ketjumurtoluvut ja Pellin yhtälön ratkaisu. Lagrangen lause jaksollisisista ketjumurtoluvuista.

ke 3.12: Lagrangen lause jatkoa. Kertausta kurssin tärkeimmistä osista.

Laajuus ja suoritus.

10 op. Loppukoe (pe 19.12 10-14, CK 112), laskaripisteistä saa maksimissaan 12 pistettä loppukokeeseen.

Tyyppi

Aineopintoja.

Esitietovaatimukset

Algebra I (sekä Analyysi I ja II) tai vastaavat tiedot.

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 ti 14-16 C124, ke 12-14 C123, lisäksi laskuharjoituksia 2 viikkotuntia.

Sisältö

Mm. kongruenssit, Diofantoksen yhtälöitä, Gaussin kvadraattinen resiprookkilause, rationaaliapproksimaatiot, Pellin yhtälö ja ketjumurtoluvut.

Ilmoittaudu

Laskuharjoitukset