Tämä sivu sisältää matematiikan kuvauksia matematiikan perus- ja aineopintokursseista. Lisää ja tarkempaa tietoa löytyy luonnollisesti kurssien omilta sivuilta. Menneiden vuosien kurssit löytyvät laitoksen sivuilta kaikki kurssit tai vaihtoehtoisesti kyseisen vuoden alta ja vanhoja kokeita koearkistosta.
Matematiikan pääaineopiskelijan tutkintovaatimukset löydät laitoksen sivuilta. Kaikille pakollisia ovat perusopintoihin kuuluvat kurssit, mutta yleislinjalaisten ja opettejalinjalaisten pakollisissa matematiikanaineopinnoissa on eroja.
Analyysi I (10 op)
Analyysi I on luonnollinen aloitus yliopistomatematiikkaan, onhan se sellaiseksi tarkoitettukin. Sitä luennoi perinteisesti Juha Oikkonen, joka pyrkii saamaan opiskelijat osallistumaan kyselemiseen ja tekemiseen, jottei luennoista tulisi vain yhtä pitää monologia. Kurssi on varsinaisen sisältönsä opettamisen lisäksi tarkoitettu uusien opiskelijoiden tutustuttamiseen yliopistomatematiikkaan ja matemaattiseen ajatteluun: todistusten merkitys matematiikassa sekä vaatimus niiden täsmällisyydestä kuten myös matematiikan deduktiivinen rakenne ja useat todistusmenetelmät kuten induktio tulevat varmasti tutuiksi. Lukiossa usein vältelty lauseiden todistaminen onkin keskeinen osa tätä kurssia – kuten kaikkia muitakin.
Varsinaisena asiana kurssilla käsiteltävistä asioista tärkein on raja-arvo, niin lukujonon kuin funktionkin, johon päästään lyhyen reaalilukuja ja itseisarvoa käsittelevän osuuden jälkeen. Raja-arvohan on käsitteenä lukiosta tuttu, mutta siellä sitä ei kuitenkaan missään vaiheessa määritellä täsmällisesti. Tällä kurssilla rakastetut epsilon ja delta viimein pääsevät irti ja raja-arvo saa tarkan määritelmänsä, josta sitten johdetaan kaikki sen ominaisuudet. Tämän jälkeen päästään käsiksi erotusosamäärään ja derivaattaan. Näiden kautta törmätään hyödylliseen väliarvolauseeseen, joka lukiossa jätettiin huomiotta.
Kurssin alussa tehtävät voivat vaikuttaa hyvin oudoilta, sillä ne poikkeavat hyvin paljon lukiotehtävistä ja voivat vaikuttaa välillä typeriltä ja turhilta. Ne ovat kuitenkin hyvin tärkeitä uudenlaisen ajattelun ja menetelmien omaksumiseksi ja ne kannattaa todellakin tehdä, sillä ilman niitä voi olla vaikea ymmärtää, mitä tapahtuu ja miksi, kun päästään käsittelemään raja-arvoa. Ylipäätään kaikilla kursseilla tehtävät on hyvä tehdä ja luennoilla hyvä käydä, sillä matematiikassa kaikki perustuu aikaisemmin opittuun, joten tietojaan joutuu myöhemmin paikkailemaan, jos ne ovat sattuneet jäämään aukkoisiksi. On syytä korostaa, että kurssi ei missään nimessä ole nimestään ja sisällöstään huolimatta lukiomatematiikan kertausta vaan ennemminkin lukiosta tutuksi tulleiden käsitteiden huolellista ja perusteellista rakentamista hyvin lukiosta poikkeavalla tavalla.
Analyysi II (10 op)
Analyysi II on luonnollista jatkoa Analyysi I:lle keväällä, ja jatkaa siitä mihin edellinen kurssi jäi. Kurssi kannattaa ehdottomasti suorittaa heti ensimmäisenä keväänä, niin saumattoman kokonaisuuden se muodostaa Analyysi I:n kanssa. Edellisen kurssin tapaan luennoitsijana toimii Juha Oikkonen.
Jälleen tutustutaan moniin lukiosta tuttuihin asioihin kuten Riemannin integraaliin ja sarjoihin, mutta yliopistomatematiikan täsmällisyydellä. Aluksi kurssilla määritellään tarkasti Riemannin integraali ja "äärettömän monen termin summa", sarja, joiden jälkeen siirrytään tärkeään tasaisen suppenemisen käsitteeseen ja potenssisarjoihin, joiden avulla voidaan tutkia monien tuttujen funktioiden ominaisuuksia helpommin ja tehokkaammin.
Jatkoa Analyysi II:lle on kurssi Vektorianalyysi, jolla käsitellään samoja asioita korkeampiulotteisissa avaruuksissa.
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I (5 op)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta 1 (tuttavallisemmin Linis 1) on analyysin ohella luultavasti ensimmäinen kurssi, jonka yliopistomatematiikassa käyt. Kurssi alkaa mukavilla lineaarisilla yhtälöillä ja -yhtälöryhmillä, esittelee matriisin käsitteen sekä tuo esile hyödyllisiä yhteyksiä näiden välillä. Tämän jälkeen siirrytään matriisit kainalossa tutkimaan vektoriavaruuksia koordinaatteineen.
Kurssin luentomuistiinpanot löytyvät kurssin kotisivulta, mutta ovat ajoittain varsin raskassoutuisia ja mekaanisia, joten luennoilla käynti kannattaa. Prujua on mukavampi lukea luennoitsijan johdolla ennen kuin silmä tottuu matemaattiseen tekstiin. Kurssilla käsitellään luentomonisteen kaksi ensimmäistä lukua, jotka eivät yksinään tarjoa kovinkaan paljon syvällisiä tuloksia, mutta toimivat pohjana jatkona toimivassa Linis II:ssa käsiteltäville asioille.
Aineopinnot
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II (5 op)
Linis II on jatkaa siitä, mihin Linis I:ssä jäätiin. Alussa siirrytään vektoriavaruuksista hauskoihin sisätuloavaruuksiin ja esitellään lineaarikuvauksen käsite. Tällöin huomataan edellisestä kurssista tutut matriisit voidaan samastaa lineaarikuvausten kanssa.
Kurssi käyttää samaa luentomonistetta kuin Linis I, ja teksti pysyy edelleen ajoittain hieman raskassoutuisena. Luennoilla tapahtuva purku helpottaa omaksumista, sillä asiaa on edellistä kurssia enemmän ja se voi paikoin olla haastavampaa, mutta luonnollisesti mielenkiintoisempaa ja hyödyllisempää.
Topologia I (10 op)
Topologia I on omiaan ensimmäisen tai toisen vuoden opiskelijalle. Ehkä hieman matemaattisempi kuin monet muut kevään kurssit, mutta myös hyvä paikka oivaltaa matematiikan syvempää olemusta. Wikipediaa lainaten:"Topologia on matematiikan osa-alue, joka käsittelee jatkuvuutta, raja-arvoja, kappaleiden muuttumattomia ominaisuuksia, kun niitä venytetään ja väännellään yms." Kurssilla tutustutaan metrisiin avaruuksiin eli avaruuksiin, joiden pisteiden välille on määritelty jokin tietyt ehdot täyttävä etäisyysfunktio, metriikka. Tällä saadaan määritettyä pisteiden välillä mitä eriskummallisimpia etäisyyksiä, joista suurin osa ei vaikuta lainkaan luonnolliselta. Näin saatava teoria on kuitenkin näin yleisempää kuin arkipäivän etäisyyskäsitteen, euklidisen metriikan, pohjalle rakennettu.
Myöhemmin määritellään analyysin kursseista tuttu jatkuvuuden käsite yleisemmissä metrisissä avaruuksissa ja mm. avoimet ja suljetut joukot, joita pyöritellään kurssin aikana paljon. Myös tärkeään ja hyödylliseen kompaktiuden käsitteeseen törmätään. Ylipäätään moni analyysin tulos saa yleistyksen korkeampiulotteiseen tai muuten vain yleisempään avaruuteen.
Kurssilla on perinteisesti käytetty Limeksen painamaa Jussi Väisälän oppikirjaa, jota on useasti pidetty yhtenä parhaista matematiikan suomenkielisistä oppikirjoista. Kirjaan löytyy korjauksia tekijän kotisivulta.
Analyysin harjoitustyö (2 op)
Analyysin kursseihin liittyvä kaikille pakollinen harjoitustyö, joka ihan oikeasti kannattaa tehdä ajoissa, ettei se jää pyörimään. Luonteeltaan se on hieman tavallista laskaritehtävää vaikeampi. Kyseessä on myös hyvä tilaisuus päästä käyttämään matemaattisen tekstin kirjoittamiseen tarkoitettua LateX-ohjelmaa, jonka käytön opettelemiseen tarjotaan keväisin kurssi. Analyysin harjoitustyö laitoksen sivuilla.
Vektorianalyysi (10 op)
Kurssien Analyysi I ja Analyysi II asioita moniulotteisessa avaruudessa. Kurssi pidetään yleensä syksyisin ja suositellaan käytäväksi toisena opiskeluvuotena. Osa asioista on tuttuja Topologia I:stä mutta tunnetusti se, ettei ole opiskellut topologiaa ei ole tekosyy olla osaamatta sitä. Kurssi on pakollinen yleislinjalla, mutta myös opettajalinjalla sen käyminen kannattaa.
Kirjana on Olli Martion kirjoittama Limeksen painama Vektorianalyysi. Kirjasta huomaa, että se on hieman vanha eikä aivan vastaa enää täysin luentojen sisältöä
Mitta ja integraali (6 op)
Mitta ja integraali on aineopintojen huipentuma. Kurssilla tutustutaan mittateorian perusteisiin sekä määritellään Lebesguen mitta ja Lebesguen integraali, jonka avulla laskea integraaleja funktioille, joiden Riemannin integraalia ei ole olemassa.
Johdatus matematiikkaan (6 op)
Johdatus matematiikkaan on aivan uusi, ensimmäistä kertaa syksyllä 2011 luennoitava kurssi, joka on tarkoitettu matematiikan opintonsa aloittaville fukseille. Se sisältää luultavasti materiaalia kursseilta Lukualueet, jonka tarkoituksena on ollut opettaa uusille opiskelijoille kompleksilukujen perusteet, ja Johdatus diskreettiin matematiikkaan, joka sisältää joukko-oppia, kuvauksia, induktiota, kombinatoriikkaa ja verkkoteoriaa.
Algebra I (10 op)
Algebra I on pakollinen opettajalinjan opiskelijoille. Kurssilla määritellään mm. ryhmä, rengas ja kunta sekä tarkastellaan kokonaislukujen jaollisuutta ja polynomeja. Kurssi on hyvä käydä ensimmäisenä tai toisena opiskeluvuotena. Oppimateriaalina toimii Jokke Häsän ja Johanna Rämön kirjoittama luentomoniste.
Osa kurssin ensimmäisen puolen asioista, kuten jaollisuuden yhteydessä käsiteltävä kongruenssin käsite, saattaa olla lukiosta tuttua, mutta nämäkin tiedot kannattaa yrittää sisäistää, sillä kurssikokeen jälkeen vaikeusasteen nousu jyrkkenee. Tällöin alkupuoliskon perustietojen tukeva hallinta on suureksi eduksi. Kurssi ei kuitenkaan vaadi erityisemmin esitietoja, oleellisin asia lienee joukko-opin hienoinen hallinta, mutta tätäkin oppii kurssin edetessä.
Logiikka I (10 op)
Kurssi lähtee liikkeelle hieman samoista maisemista mitä lukion kurssilla tarkasteltiin. Totuustaulut ja konnektiivit ovat luultavasti useille tuttuja, mutta Logiikka 1:ssä niitä aletaan tutkimaan matemaattisemmassa ympäristössä. Mallin käsite tuodaan esille ja kurssin aikana mm. kirjahyllyn malli, kaupunkiverkon malli sekä perhemalli tulevat esimerkkeinä tutuiksi. Laskareita kannattaa tehdä vielä tavanomaistakin ahkerammin, sillä muodollisten päättelyiden teko ei tahdo onnistua ilman käytännön tuomaa harjoitusta. Mukava käydä milloin vain opiskeluiden aikana.
Geometria (10 op)
Tasogeometriaa varsinkin opettajaksi opiskeleville, joille kurssi on pakollinen. Kurssimateriaali vaihtelee luennoitsijan mukaan. Kurssi luennoidaan keväisin.
Differentiaaliyhtälöt (5 op)
Syksyn kurssi differentiaaliyhtälöt I kuuluu valinnaisiin aineopintoihin ja paneutuu nimensä mukaisesti differentiaaliyhtälöihin ja niiden ratkaisemiseen. Aluksi lähdetään liikkeelle separoituvista yhtälöistä, joista päästään hieman yleisempiin eksakteihin yhtälöihin. Kurssi käsittää pääasiassa ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden eri tyyppejä ja niiden ratkaisemista, kurssin loppupuolella päästään lineaarisiin toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöihin ja niiden ratkaisumenetelmiin. Matemaattisesti kurssilla ei mennä kovinkaan syvälle, vaan pääpaino on perusongelmien ratkaisumenetelmissä, täten kovin raskaita todistuksia ei olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslausetta lukuunottamatta esiinny. Kurssin jälkeen esimerkiksi muotoa y´ - y = 0 oleva yhtälö ei ole enää pelottava. Kurssin sisältö vaihtelee melko paljon luennoitsijasta riippuen. Samat perusasiat toki käydään aina, mutta muuten painotukset voivat olla erilaisia.
Kurssi ei vaadi esitietoja yliopistomatematiikasta ja sen voi suorittaa jo ensimmäisenä vuonna, vaikka se on suunnattu enemmänkin toisen vuoden opiskelijoille. Joissakin kurssin kohdissa mainitaan ensimmäisen vuoden opiskelijalle mahdollisesti tuntemattomia asioita, kuten osittaisderivaatat tai eräitä lineaarialgebran tuloksia. Näistä asioista kurssilla vaadittavat tiedot eivät ole kuitenkaan vaikeita materiaalista omaksua eikä niiden pitäisi tuottaa suuria vaikeuksia. Kurssi sopiikin hyvin niille, jotka haluavat suorittaa ensimmäisenä syksynään hieman enemmän kursseja.
Differentiaaliyhtälöt II (5 op)
Differentiaaliyhtälöt II jatkaa siitä mihin differentiaaliyhtälöt I päättyi. Luennoitsijasta riippuen toisen kertaluvun lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen voi sisältyä kurssiin tai sitten se on käyty ensimmäisessä osassa. Muuten sisältö voi vaihdella huomattavasti. Helpoimmalla pääsee kun käy molemmat kurssit putkeen. Kurssin "luonnollinen" jatke on osittaisdifferentiaaliyhtälöt, joka luennoidaan keväisin ja vaatii ainakin vektorianalyysin esitiedoikseen.
Yleisesti tämäkään kurssi ei ole ylitsevuotavaisen vaikea ensimmäisen vuoden opiskelijalle, sillä vaadittavat esitiedot löytyvät analyysin ja liniksen luentomateriaaleista ja niistä puuttuvat asiat on helppo omaksua kurssin aikana. Yllättäen kurssi voi tarjota tukea linis II:een, sillä monet eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen käytettävät menetelmät hyödyntävät lineaarialgebran tuloksia, joiden käyttäminen ehtii tällöin tulla tutuksi ennen kuin niihin liniksessä päästään tutustumaan.
Johdatus todennäköisyyslaskentaan (5 op)
Kuuluu matematiikan aineopintojen lisäksi myös tilastotieteen aineopintoihin ja on opettajalinjalaisille pakollinen. Perustellaan tarkemmin ja syvennetään lukion todennäköisyyslaskennan tietoja. Pakollinen aineenopettajalle, käytännössä kaikkien kannattaa se käydä. Voidaan sisällyttää myös tilastotieteen sivuainekokonaisuuteen.
Johdatus tilastolliseen päättelyyn (5 op)
Kuuluu matematiikan aineopintojen lisäksi myös tilastotieteen aineopintoihin. Voidaan sisällyttää myös tilastotieteen sivuainekokonaisuuteen. Ensimmäinen askel tilastotieteen maailmaan, jossa tutustutaan sekä frekventistisen että baysesiläisen päättelyn perusteisiin.
